| 授業の目的 【日本語】 | | 圏論は代数学や幾何学など現代数学に現れる種々の構造を一般化抽象化するための枠組みを与える。特にホモロジー代数で用いられる重要な(加法)圏のクラスとしてはアーベル圏と三角圏が挙げられる。
この講義では三角圏の基本的な取り扱いを目標とし、また、そのために必要な(加法)圏での基礎事項も扱う。
Category theory provides a framework for generalizing and abstracting various structures that appear in modern mathematics, such as algebra and geometry. In particular, abelian categories and triangulated categories are two important classes of (additive) categories used in homological algebra.
This course aims at the basic treatment of triangulated categories, and also deals with the basics in the (additive) categories necessary for that. |
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| 授業の目的 【英語】 | | |
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| 到達目標 【日本語】 | | 授業終了時に、以下のことができるようになることを目標とします。
(1) (加法)圏において、随伴関手や米田の補題などを理解し滞りなく用いることができる。
(2) 三角圏において、三角形を用いた議論を理解できる。
The goals of this course are to
(1) Understand and smoothly use adjoint functors and Yoneda's lemma, etc. in (additive) categories.
(2) Understand arguments involving triangles in triangulated categories.
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| 到達目標 【英語】 | | |
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| 授業の内容や構成 | | 本授業は以下の２つの内容で構成されています。
(1) (加法)圏、アーベル圏の基礎事項
1～7回：随伴関手、圏同値、米田の補題、加法圏、アーベル圏、完全性。
(2) 三角圏の基礎事項
8～15回：三角圏、三角関手、局所化、ホモトピー圏、導来圏、t-構造、ルコルマン。
講義中にいくつかの復習課題を課します。
This course consists of the following two parts.
(1) Foundations of (additive) categories and abelian categories.
1～7: adjoint functors, equivalence of categories, Yoneda’s lemma, additive category, abelian category, exactness.
(2) Basics of triangulated categories.
8～15: triangulated category, triangle functor, localization, homotopy category, derived category, t-structure, recollement.
Homework for review will be assigned during the class.
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| 履修条件 | | 三年次までの学部代数学、特に線形代数学、環上の加群についての基礎的知識が必要。
この科目は日本語で提供されます。
Undergraduate algebra up to the third year, especially, basic knowledge of linear algebra and modules over rings is required.
This course will be taught in Japanese. |
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| 関連する科目 | | 線形代数学、代数学。
Linear algebra, Algebra. |
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| 成績評価の方法と基準 | | 期末試験(80%)と必要に応じて課されるレポート(20%)に基づき評価する。
加法圏・三角圏に関わる基礎概念を理解し、基本的な事柄の証明を行えることを合格の基準とする。
Your overall grade in the class will be decided based on the following:
- Short reports: 20%
- Term-end examination: 80%
The criterion for pass is to understand basic concepts and to be able to prove fundamental properties in additive categories and triangulated categories.
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| 教科書・テキスト | | |
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| 参考書 | | 講義中に紹介する。
Will be introduced in the class. |
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| 課外学習等（授業時間外学習の指示） | | |
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| 注意事項 | | |
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| 他学科聴講の可否 | | |
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| 他学科聴講の条件 | | |
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| レベル | | |
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| キーワード | | 加法圏、アーベル圏、三角圏。
Additive categories, abelian categories, triangulated categories.
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| 履修の際のアドバイス | | |
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| 授業開講形態等 | | |
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| 遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置 | | |
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