| 学部・大学院区分 | | 多・博前 | | | 時間割コード | | 3211121 | | | 科目区分 | | Ａ類Ⅲ（集中講義）
Category A-3 | | | 科目名 【日本語】 | | 解析学特別講義Ⅲ | | | 科目名 【英語】 | | Special Course on Analysis III | | | コースナンバリングコード | | | | | 担当教員 【日本語】 | | | | | 担当教員 【英語】 | | | | | 単位数 | | 1 | | | 開講期・開講時間帯 | |
| | | 授業形態 | |
| | | 学科・専攻 | | | | | 必修・選択 | | | |
| 授業の目的 【日本語】 | | 正則対称Dirichlet形式の理論，および熱核評価とフラクタル上の解析学への応用について概説する．具体的には，関連事項をさらに深く学ぶ上での指針となるよう，次の各項目についてその骨子の簡潔な要約を提示することをねらいとする：
(1) 対称Dirichlet形式の関数解析的性質
(2) 正則対称Dirichlet形式に対するポテンシャル論
(3) 正則対称Dirichlet形式と対称Hunt過程の対応
(4) Hunt過程を用いた計算による熱核評価の導出
(5) フラクタル上のDirichlet形式の構成と熱核評価
(6) フラクタル上のエネルギー測度の性質と未解決問題
This lecture course surveys the theory of regular symmetric Dirichlet forms and their applications to heat kernel estimates and analysis on fractals. Specifically, this course is aimed at summarizing concisely the key points of the following items so as to give a guide for further studies of related topics:
(1) Functional-analytic properties of symmetric Dirichlet forms
(2) Potential theory for regular symmetric Dirichlet forms
(3) Correspondence of regular symmetric Dirichlet forms and symmetric Hunt processes
(4) Heat kernel estimates by calculations through Hunt processes
(5) Dirichlet forms on fractals: their construction and heat kernel estimates
(6) Properties of the energy measures on fractals and related open problems
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| | | 授業の目的 【英語】 | | | | | 到達目標 【日本語】 | | 次の各項目についてその骨子を理解すること：
(1) 対称Dirichlet形式の関数解析的性質
(2) 正則対称Dirichlet形式に対するポテンシャル論
(3) 正則対称Dirichlet形式と対称Hunt過程の対応
(4) Hunt過程を用いた計算による熱核評価の導出
(5) フラクタル上のDirichlet形式の構成と熱核評価
(6) フラクタル上のエネルギー測度の性質と未解決問題 |
| | | 到達目標 【英語】 | | | | | 授業の内容や構成 | | 次の各項目について順に解説する：
(1) 対称Dirichlet形式の関数解析的性質
(2) 正則対称Dirichlet形式に対するポテンシャル論
(3) 正則対称Dirichlet形式と対称Hunt過程の対応
(4) Hunt過程を用いた計算による熱核評価の導出
(5) フラクタル上のDirichlet形式の構成と熱核評価
(6) フラクタル上のエネルギー測度の性質と未解決問題
The following items will be explained in this order:
(1) Functional-analytic properties of symmetric Dirichlet forms
(2) Potential theory for regular symmetric Dirichlet forms
(3) Correspondence of regular symmetric Dirichlet forms and symmetric Hunt processes
(4) Heat kernel estimates by calculations through Hunt processes
(5) Dirichlet forms on fractals: their construction and heat kernel estimates
(6) Properties of the energy measures on fractals and related open problems |
| | | 履修条件 | | 測度論とそれに基づく確率論，およびHilbert空間とその上の有界線型作用素についての基本事項の知識は前提とする．
This course will be taught in Japanese. |
| | | 関連する科目 | | | 測度論（Lebesgue積分論），確率論，関数解析（特にHilbert空間の理論） |
| | | 成績評価の方法と基準 | | | | | 教科書・テキスト | | | | | 参考書 | | [1] M. Fukushima, Y. Oshima and M. Takeda, Dirichlet Forms and Symmetric Markov Processes, 2nd ed., de Gruyter Stud. Math., vol. 19, Walter de Gruyter, Berlin, 2011.
[2] Z.-Q. Chen and M. Fukushima, Symmetric Markov Processes, Time Change, and Boundary Theory, London Math. Soc. Monogr., vol. 35, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2012.
[3] E. B. Davies, Spectral Theory and Differential Operators, Cambridge Stud. Adv. Math., vol. 42, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.
[4] A. Grigor'yan and N. Kajino, Localized upper bounds of heat kernels for diffusions via a multiple Dynkin-Hunt formula, Trans. Amer. Math. Soc. 369 (2017), 1025-1060.
https://doi.org/10.1090/tran/6784
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/nkajino/preprints/local11.pdf
[5] J. Kigami, Analysis on Fractals, Cambridge Tracts in Math., vol. 143, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001.
[6] 梶野 直孝，「フラクタル上の解析学入門」，京都大学大学院情報学研究科2013年度集中講義，2014.
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/nkajino/lectures/2013/Fractal2013/Fractal2013.pdf
[7] 梶野 直孝，「フラクタル上のラプラシアン・熱方程式入門」，奈良女子大学理学部 2018年度集中講義，2018.
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/nkajino/lectures/2018/Fractal2018/Fractal2018_Notes.pdf
[8] 梶野 直孝，「フラクタル上の解析学」, 『数学セミナー』2017年3月号, pp. 19-25.
[9] 日野 正訓，「ディリクレ形式における指数」，『数学』第66巻第1号 (2014), 61-77.
https://doi.org/10.11429/sugaku.0661061
[10] N. Kajino and M. Murugan, On (non-)singularity of energy measures under full off-diagonal heat kernel estimates, 2019, preprint.
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/nkajino/preprints/energy_v1.pdf
[11] 熊谷 隆，「複雑な系の上の異常拡散現象の解析」，『数学』第70巻第1号 (2018), 81-100.
https://doi.org/10.11429/sugaku.0701081 |
| | | 課外学習等（授業時間外学習の指示） | | | | | 注意事項 | | | | | 他学科聴講の可否 | | | | | 他学科聴講の条件 | | | | | レベル | | | | | キーワード | | | （正則）対称Dirichlet形式，対称Hunt過程，熱核評価，フラクタル，エネルギー測度 |
| | | 履修の際のアドバイス | | | 講義においては各話題のごく手短な概説しか行えない予定である．詳細に興味のある方には，まず参考書[8]を，次に[9, 11]をお読みになられた後，個々人の興味に応じて他の参考書および[9, 11]の引用文献をご覧になることをお勧めする． |
| | | 授業開講形態等 | | | | | 遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置 | | | |
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