| 授業の目的 【日本語】 | | テーマ： 極小曲面の幾何と解析
この少人数クラスのキーワードは極小曲面です。極小曲面は石鹸膜の数理モデルであり、数学的には局所的に面積を最小にする曲面です。平均曲率がいたるところゼロの曲面ということもできます。極小曲面の性質や例について学ぶとともに、新しい知見を得ることを目指します。
近年関心を集めている問題に、ラプラス作用素の固有値に関連するものがあります。ラプラス作用素は平面では２階微分の和ですが、曲面においてはその第１基本形式（リーマン計量）に依存して少し異なる形をとります。幾何解析における古典的問題の一つに、曲面上のラプラス作用素の第k固有値をリーマン計量をすべて動かして最大化する（上限を求め、それを実現するリーマン計量を求める）という問題があります。近年、この問題について大きな進展がなされました。とくに最大化計量が存在すれば、それは必ず球面内の極小曲面の計量になるという美しい定理が証明されています。この問題に取り組むことも一つの方向性として念頭においています。
この少人数クラスでの学習を通じて、主体的に学習する姿勢、数学的思考力、他人と議論する力を身につけることも重要な目標です。
In this class we study minimal surface from geometric and analytic points of view. As a example of direction of study, there is an interesting relation between Laplacian eigenvalue maximizing problem and minimal surface in spheres. |
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| 授業の目的 【英語】 | | |
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| 到達目標 【日本語】 | | 1年生の場合は、リーマン幾何や極小曲面について学習し、極小曲面に関する研究論文に取り組みための準備を済ませること。2年生の場合は、極小曲面に関する研究論文に取り組み、できれば新たな知見を得ること。
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| 到達目標 【英語】 | | |
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| 授業の内容や構成 | | この少人数クラスでは、リーマン幾何や極小曲面に関する準備をした上で、極小曲面に関する研究論文に取り組み、新たな知見を得ることを目指します。
読み進める文献は相談の上で決めますが、一つの進め方として、参考書1や2で微分幾何の基礎を学んだ後に関連する論文の学習に進むことが考えられます。
実施方法： 週に１回、おもに輪講形式のセミナーによって文献を読み進めていきます。１回の時間は各受講者が概ね２週間に１回発表できるように設定します。発表者は文献の内容を明確に説明できるよう事前に十分準備することが求められます。
In this class, after preliminary study on differential geometry by possibly using the books 1 and/or 2 in the reference below, we proceed to work with research papers on minimal surfaces. We meet once a week and read through literatures. Presenters are required to prepare to clearly explain the content of the literatures.
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| 履修条件 | | 学部3年生までに学習する数学の内容を理解しており、学部2年生までに学習する数学の内容に十分習熟していること。
Main language for this class is Japanese. |
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| 関連する科目 | | | 幾何学概論を始めとして、幾何学に関わる大学院講義科目を受講することは、この少人数クラスでの学習に役立ちます。 |
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| 成績評価の方法と基準 | | | 出席と発表・討論および研究の状況を総合的に評価して行います。合格の基準は、特別な事情のない限り毎回出席し、自分の担当の日に発表することです。A,B,C評価は発表・討論・研究の状況から判定します。 |
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| 教科書・テキスト | | 現時点では未定。受講者が確定してから相談の上で決定する。可能性として以下をあげておく。
1. Isaac Chavel, Riemannian geometry, A modern introduction, Cambridge University Press, 1994.
2. H. Blaine Lawson, Jr., Lectures on Minimal Submanifolds, 1980. |
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| 参考書 | | 1. Isaac Chavel, Riemannian geometry, A modern introduction, Cambridge University Press, 1994.
2. H. Blaine Lawson, Jr., Lectures on Minimal Submanifolds, 1980. |
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| 課外学習等（授業時間外学習の指示） | | |
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| 注意事項 | | |
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| 他学科聴講の可否 | | |
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| 他学科聴講の条件 | | | とくにありませんが、これまでの学習状況を確認した上で、聴講のあり方を相談します。 |
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| レベル | | |
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| キーワード | | |
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| 履修の際のアドバイス | | | 知っていることが望ましい知識： 履修要件に記載したとおり。多様体を知っているとなおよいです。 |
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| 授業開講形態等 | | |
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| 遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置 | | |
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