| 授業の目的 【日本語】 | | 【テーマ：特性類あるいはK理論とその応用】
位相幾何（トポロジー）あるいは微分幾何において必須の知識である特性類(Characteristic class) や，非可換幾何において主要な研究手段を提供するK理論について，その基本知識を習得します．また，聴衆を前にして数学的に筋道の通った発表を行い，質問に対して的確に受け答えができることを目指します．これにより，数理科学における体系的かつ論理的な思考力と表現力を身につけることを目的とします．
The theory on Characteristic classes and/or K-theory is nowadays one of the mandatories in Topology and Differential Geometry. This course will lay a foundation of them. The goal is to acquire the knowledge and also an ability to make exellent mathematical presentations so that the students will be able to refine their ideas and apply logical reasoning in seeking solutions to problems.
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| 授業の目的 【英語】 | | |
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| 到達目標 【日本語】 | | 特性類(Characteristic class)やK理論に関する基本知識を習得すること，
聴衆を前にして数学的に筋道が通りかつ整理された明確な発表を行い，質問に対して的確に受け答えができること
を少人数クラスの具体的な到達目標とします． |
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| 到達目標 【英語】 | | |
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| 授業の内容や構成 | | 特性類は、群のコホモロジーとの関連や二次特性類への拡張などを含めて種々の一般化が行われており、現在でも活発な研究が行われている対象です．またアティヤー-シンガー(Atiyah-Singer) 指数定理は20世紀数学の精華のひとつであり，特性類理論の深遠な応用を与えます．さらにK理論は、Atiyah-Singer指数定理の延長上にある非可換幾何において，重要な役割を果たします
より具体的には，以下のような内容を取り扱います：
1) スティーフェル-ホイットニー(Stiefel-Whitney) 類・チャーン(Chern) 類・ポントリャーギン(Pontrjagin) 類などの特性類とその応用に関する基本知識；
2) 位相幾何から関数解析まで含めた広い分野への適用を意識したK理論の基本知識；
少人数クラスは，前期後期ともに毎週1.5 ～ 3 時間程度行います．参加者の興味と到達度を考慮して以下に挙げたテキストのいずれかを選び，これに基づいて輪講形式で学習します．
The theory on Characteristic classes is generalized even now including applications to group cohomology and secondary characteristic classes and it is active research area in Topology. The Atiya-Singer Index theorem is one of the most celebrated theorem in the 20th century, which provides profound applications of Characteristic classes. The K-theory also plays an important role in Noncommutative Geometry, in which the Atiyah-Singer Index theorem is much generalized. In the courses, we deal with the following topics:
1) The Stiefel-Whitney, Chern and Pontrjagin classes and their applications to Topology;
2) Foundations of the K-theory including applications to Topology and even Functional Analysis.
The course will be provided in 90/180 minutes. We shall use one of the following textbooks depending on the interest and backgrounds of students. |
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| 履修条件 | | 線型代数や微積分の内容をしっかりと理解していることは大前提です．また位相空間論を理解していることを前提とします．また3年次までに学習した内容を理解して，使えるようにしておくことが望まれます．しかしそれ以上に，率先して文献等に当り，例え知らないことであっても調べて身につけようという自主性が重要です．
【定員超過の際の選考方法について】定員を上回る学生が分属を希望した場合には，まず希望者全員と相談を行い，幾何学系科目の習得度を考慮して分属者を決定します．
この講義は日本語で行います．
This course will be offered in Japanese. |
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| 関連する科目 | | |
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| 成績評価の方法と基準 | | 選んだテキストの内容を数学的にどの程度理解できたか，課された発表に対してどのような準備を行い，どのくらい解りやすく整理された発表であったかを判断して，成績評価を行います．
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| 教科書・テキスト | | | 共通の教科書は用いません．各履修者と相談して，基本的に以下の参考書の中からテキストを選びます． |
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| 参考書 | | [M] Milnor, Characteristic classes, Princeton University Press
[Mo] 森田茂之、微分形式の幾何学，岩波書店
[BT] Bott-Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag
[W] Wegge-Olsen, K-theory and C＊-algebras, Oxford University Press
[D] Dupont, Curvature and characteristic classes, LNM 640, Springer-Verlag
[S] Shanahan, The Atiyah-Singer Index Theorem, LNM 638, Springer-Verlag
[R] Roe, Elliptic operators, topology and asymptotic methods. Longman |
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| 課外学習等（授業時間外学習の指示） | | |
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| 注意事項 | | 分属のためのオフィスアワーを以下のように設けます：
1月９日木曜日12時～13時
場所は多元504室です．
この時間帯で都合が悪い場合はメイルで問い合わせてください．またスカイプを利用した面談も可能ですので，その場合にもメイルで問い合わせてください． |
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| 他学科聴講の可否 | | |
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| 他学科聴講の条件 | | |
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| レベル | | |
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| キーワード | | | 特性類，Ｋ理論，アティヤー-シンガー(Atiyah-Singer) 指数定理 |
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| 履修の際のアドバイス | | | 予備知識として，学部3 年生までに学習する内容は不可欠です．もちろん線型代数や微積分学の内容をしっかりと理解していることは大前提です．加えて、多様体の基礎知識とホモロジー論を含む位相幾何の初等知識、微分幾何の初等知識をもっていることを望みます（しかし前提条件ではありません）．ただし[W] をテキストとして選ぶ場合には，位相幾何・微分幾何の初等知識は無くても構いません．しかし関数解析の初等知識（ヒルベルト空間、線形作用素など）を持っていることを期待します（前提条件ではありません）． |
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| 授業開講形態等 | | |
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| 遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置 | | |
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