授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | ♯テーマ 測度論的確率論の発展的内容
現在では数学以外の多様な分野で利用されている測度論的確率論について学ぶ. 特に測度論的確率論の知識を元に確率積分やパーコレーションといった発展的内容を理解することが目的である.
♯Theme: Advanced topics of measure theoretic probability.
This course introduces the advanced topics of measure theoretic probability theory, e.g. stochastic calculus, or percolation model. |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | このセミナーの終了時に受講生が以下の能力を身につけていることを目標とする.
文献[1]の場合
ブラウン運動, 確率積分の概念を理解し, その説明ができる.
文献[2]の場合
パーコレーションの相転移が起こる原理, および2次元ボンドパーコレーションの臨界確率が1/2であることの証明を理解している. |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 週に1回2~3時間程度のセミナーを行う. セミナーは輪講形式で文献を読み進めていく.
セミナー発表は本の翻訳ではない. 例えば「どのような式変形を行っているのか」等テキストには書かれていない行間をきちんと埋める作業が重要である. そのためには他の文献で調べる等の準備をきちんと行うことが必須である. |
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履修条件
Course Prerequisites | | 定員超過の場合の選考方法.
Zoomなどを用いて面談をした学生を優先するとともに，「３年前期までの学業成績」と「３年後期の履修科目」を考慮して分属者を決定する
This course will be taught in Japanese. |
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関連する科目
Related Courses | | |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | セミナー中に得た知識や概念を用いて正しく議論できることを合格の基準とする.
またセミナー中の質問に対する応答や発表の準備の内容で成績の評価を行う. |
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不可(F)と欠席(W)の基準
Criteria for "Fail (F)" & "Absent (W)" grades | | |
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参考書
Reference Book | | [1]* J.F.LeGall: Brownian motion, Martingales, and Stochastic Calculus (Springer)
ブラウン運動や確率積分などについて書かれたテキストである. ブラウン運動とは溶媒中にある巨大な粒子があらゆる方向から絶え間なく溶媒分子に衝突されることで非常に複雑な動きをする現象をいう. これは物理現象の用語であるが数学的に定義するには確率論が用いられる. ブラウン運動を用いてさらに確率積分や確率微分方程式といったものが導入され, 数学, 物理学, 経済学などで用いられている. 卒業研究では5章の確率積分の導入までを目標にする.
[2]* G.Grimmett: Probability on Graphs, Random Processes on Graphs and Lattices, Cambridge
グラフ上で考えられる確率模型について書かれている. 内容はランダムウォーク, uniform spanning tree, percolation, contact process等多岐にわたる. 卒業研究では3-5章のpercolationについて読んでいく. (d次元格子上のbond) percolationとは各辺を確率pで残し, 1-pで取り除いてできるグラフのことをいう. 原点から残った辺を通って無限遠点まで行けるだろうか?というのがこの模型のもっとも本質的な問題である. 答えはpによって確率1で行けない場合と, 確率正で行くことができる場合に分けられる(相転移). Percolationは果樹園での病気の感染や多孔性物質などを表す確率モデルとしても知られている.
[3] A. Frieze, M. Karonski: Introduction to random graphs, Cambridge
主に次のようなランダムグラフ(Erd?s-R?nyiランダムグラフ)についてまとめた本である.
頂点数nの完全グラフの各辺を確率pで残し, 確率1-pで取り除く操作によってできるランダムグラフを考える. このようにランダムグラフを考えることはSNSよって生成されるネットワークの構造を調べる際には重要になってくる. ERモデルはランダムグラフを研究する際の基礎になるものである. |
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教科書・テキスト
Textbook | | | 参考書の中から参加者と相談して1冊を選ぶ. 優先順位は[1],[2],[3]の順(基本的に[3]は扱う予定はないが全員が強い希望をした場合のみ考える.) |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | |
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注意事項
Notice for Students | | |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions for Other department student's attendance | | |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | 扱う予定の本では確率論の理論の基礎的内容が補完できない部分があるのでそのような部分に関しては改めて参考文献を紹介する. |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | |
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