授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | | 測度集中現象の複素幾何学への応用をテーマに研究提案をしたい． |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | | In this course I will present research proposal toward applications of the measure concentration phenomenon to problems in complex geometry. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | 1. コンパクトリィ群とその上のハール測度を理解すること．測度集中現象入門として巨大次元のコンパクトリィ群のハール測度について論じる．
2. 巨大次元球面上の測度集中現象を空間的観点と関数的観点の両方の視点から理解すること．
3. 小平埋め込み定理と関連する幾何学を理解すること．測度集中現象を射影代数多様体への正則曲線の振る舞いを理解するのにどのように応用されるかについて講義する．その基本となるのが小平埋め込み定理と関連する幾何学である． |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | 1.Understanding basics on compact Lie groups and Haar measure. We start with basics on compact Lie groups and describe what happens on the Haar measure when the dimension becomes very large as an introduction to the measure concentration phenomenon.
2. Understanding the measure concentration on large dimensional spheres from two view points, one is the space view point and the other is the function view point.
3. Understanding the Kodaira Embedding Theorem and related projective geometry. I will explain the application of the measure concentration to the geometry of holomorphic curves into projective varieties, based on various geometry related to the Kodaira Embedding Theorem. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | コンパクト行列群．巨大次元コンパクト行列群上の測度集中現象．
測度集中現象へのリーマン幾何的アプローチ．特に対数Sobolev不等式．
射影代数多様体と小平埋め込み定理．
巨大次元射影空間への小平埋め込み定理と Nevanlinna-Cartan-Ahlfors理論．
射影代数多様体への正則曲線の振る舞いを測度集中現象から理解する．
測度集中現象の組み合わせ論 (Adiprasito-Sanyal's resolution of Rota-Heron-Welsh conjec
ture) への応用．
幾何学的量子化との関連（時間があれば）． |
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履修条件
Course Prerequisites | | | 学部の幾何学，測度論，複素関数論を知っていることが望ましい．未習と思われるリィ群論は初歩から始める． |
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関連する科目
Related Courses | | |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | | 講義中に出す課題を複数といてレポートとして提出してください． |
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不可(F)と欠席(W)の基準
Criteria for "Fail (F)" & "Absent (W)" grades | | レポートの提出がなければ欠席である．レポートが提出されても内容に見るべきものがなければ不可である（これは
滅多にないことだが）． |
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参考書
Reference Book | | 測度集中現象の本格的な教科書としては
M. Ledoux, ``The Measure Concentration Phenomenon'', Amer. Math. Soc. 2001.
があります．
また，測度集中現象の複素幾何への応用については，講義中に資料を配布します．
K. Adiprasiko-R. Sanyal, ``Whitney numbers of arrangements via measure concentration of intrinsic volumes'', arXiv:1606.09412 [math.CO] 2016.
L. Ahlfors, ``The theory of meromorphic curves'', Acta Soc. Sci. Fenn. Nova. 1941 Ser. A 3 no.4 pages 1-31（Ahlfors's Collected Worksで見つけるのが簡単）
小平邦彦，複素多様体の構造と変形 II, 東大セミナリーノート．
B. Berndtsson, “Introduction to things $\bar{\partial}$, available on line. |
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教科書・テキスト
Textbook | | 測度集中現象については
``Concentration of Measure and the Compact Classical Matrix Groups''
by Elizabeth Meckes, https://www.math.ias.edu/files/wam/Haar_notes-revised.pdf. 2014.
をテキストとします．学部生にも読めるように初歩から書かれた手頃なサイズの講義ノートです．
最後の方には驚くべき応用まで書かれています．講義中に出題する問題の他に，このテキストの演習問題を解いて提出してくださればレポートとして受け取り，成績を評価します． |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | | 講義資料に課題を掲載する．その他，Meckes の lecture note に演習問題がある．講義中に課題を出すので，自分のペースでやって提出してほしい．レポートのみで成績を評価します． |
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注意事項
Notice for Students | | |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions for Other department student's attendance | | |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | 測度集中現象．コンパクト行列群（直交群とユニタリ群）．有理等質多様体とその上の測度集中現象．
小平埋め込み定理．射影空間とグラスマン多様体．Nevanlinna-Cartan-Ahlfors理論．幾何学的量子化． |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | 測度集中現象とその複素幾何への応用という方向を提案する講義だと思って欲しい． |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | | 定期的に，講義資料とその解説動画をNUSSにアップロードします．URLはNUCTでお知らせします． |
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