授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | テーマ: 具体例をたまに計算機に頼る代数的整数論
少人数の講究型の授業により、代数的整数論、特に類体論を学び、思考力やコミュニケーション能力などを身につけることを目的とします。
(This small group class deals with class field theory. It is also to help students acquire communicative competence.) |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | | 本授業の到達目標は、代数的整数論の基本的な概念および類体論を、具体例を挙げて説明できることです。 |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 下記の教科書により輪講形式のセミナーを行います。
代数的整数というのは、2 の平方根や 1 の原始 3 乗根など、最高次の係数が 1 の有理整数係数の多項式の根になっている複素数のことです。この少人数クラスでは、代数的整数論、特に有限次代数体（有理数体の有限次拡大）などのアーベル拡大（ガロア群がアーベル群なガロア拡大）がどのくらいあるか？などを教えてくれる類体論を学びます。
また、修論を書くときなど具体例を人力で計算しようとすると大変なので、整数論用のソフトウェア KANT/KASH による具体例の計算練習を2回します。1 回目の計算練習は 1 年次の秋、2 回目は 2 年次の春のことが多いです。
自分の発表担当以外の部分も予習してノートを作りましょう。具体例があったら、教科書と違う例を作ってみましょう。
(In this course we treat quadratic reciprocity law, p-adic number field, Dedekind domain, ideal class group and unit group, class field theory, different, adele ring and idele group, idele class group and class field theory. Each part requires several weeks. We also practice calculations of algebraic numbers, ideals, ideal class groups, unit groups and class fields by using KANT/KASH.) |
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履修条件
Course Prerequisites | | この授業は、日本語で提供されます。
(This course will be taught in Japanese.) |
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関連する科目
Related Courses | | | 体とガロア理論の講義を過去に一度も受講したことがない場合は、代数学概論を受講することが望ましいです。 |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | | 少人数クラスにおける学習研究により評価します。類体論の説明に必要な代数的整数論の基本的な概念を、具体例を挙げて説明できることを合格の基準とします。 |
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教科書・テキスト
Textbook | | デフォールトの教科書を
[1] 加藤和也・黒川信重・斎藤毅 数論 I 岩波書店
とします。類体論の教科書としてふさわしいもので、協議して統一していただければ、他のものでも構いません。 |
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参考書
Reference Book | | 代数的整数論の入門書としては、
[2] 小野孝 数論序説 裳華房
[3] 藤崎源二郎 代数的整数論入門(上) 裳華房
[4] 藤崎源二郎 代数的整数論入門(下) 裳華房
[5] 高木貞治 初等整数論講義 第2版 岩波書店
[6] 山本芳彦 数論入門 岩波書店
[7] 雪江明彦 整数論１ 初等整数論から p 進数へ 日本評論社
[8] 雪江明彦 整数論２ 代数的整数論の基礎 日本評論社
などがあります。
また、局所類体論を他の本で見てみる場合、
[9] 岩澤健吉 局所類体論 岩波書店
[10] 齋藤秀司 整数論 共立出版
類体論を他の本で見てみる場合、
[11] 足立恒雄・三宅克哉 類体論講義 日本評論社
[12] J.ノイキルヒ, 代数的整数論, シュプリンガー・フェアラーク東京, 2003
更に何か読んでみたい場合
[13] 黒川信重・栗原・斎藤毅, 数論 II, 岩波書店, 2005.
[14] L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields Second Edition, Springer Science & Business Media
などが挙げられます。 |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | |
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注意事項
Notice for Students | | |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions of Other department student's attendance | | |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | | 合同式, 平方剰余の相互法則, Hilbert 記号, p 進数体, 整数環, Dedekind 環, 素イデアル分解, 分岐, 不分岐, Frobenius 置換, 離散付値環, イデアル類群, 単数群, アデール環, イデール群, イデール類群、ray class field |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | 内容を見てもわかる通り、ガロア理論に見覚えがあったほうが安全です。整数環のイデアルの分解とか分岐とか言い出すので、環論にも少し見覚えが必要です。途中、完備化が出てくるので、位相にも若干の慣れがあったほうがお得です。ある程度進むと、計算機での計算練習とかを行う予定なので、パソコン等のキーボードに触りなれているとすこしお得です。下記の教科書は、話の順番などが独特なので、代数的整数論の入門書を一度も見たことがない場合は、一度眺めてみるとよいでしょう。 |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | |
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