授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | 【テーマ：位相幾何学（トポロジー）とその応用】各履修者は以下のサブテーマのいずれかを学習します．
1)【特性類あるいは K 理論とその応用】 位相幾何および微分幾何において不可欠の知識である「特性類(Characteristic class)」 や，非可換幾何において主要な研究手段を提供する「 K 理論」について，その基本知識を習得します．
2)【結び目絡み目や3次元多様体からの位相幾何】位相幾何および微分幾何において主要な研究対象である結び目・絡み目・曲面・3次元多様体を詳細に扱うことで，位相幾何学の基本技量を蓄積・向上させます．
どちらのサブテーマを選んだ場合にも，数学的に筋道の通った発表を行って質問にも的確に受け答えする能力を獲得することを他方の目的とします．これにより，さらに高度な数理科学を学習する際に必要となる，体系的かつ論理的な思考力と表現力を身につけることを目指します． |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | [Theme: Topology and its applications] Either of the following subthemes will be adopted.
1) [Characteristic classes and/or K-theory and its applications] The theory on Characteristic classes and/or K-theory is nowadays manddatory in Topology and Differential Geometry. This course will lay a foundation of them.
2) [Topology from Knots, links and 3-dimensional manifolds] Knots, links and 3-dimensional manifolds are definitely important geometric objects in Topology and Geometry. This course will accumulate and enhance knowledge and skills in Topolology dealing with them in detail.
In either case, The goal is to acquire basic knowledge on the subject as well as an ability to apply logical reasoning in seeking solutions to Mathematical problems. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | この授業では，以下の知識・能力を習得することを目標とします．
・特性類(Characteristic class) や K 理論/結び目・絡み目・曲面・3次元多様体に関する基本知識．
・数学的内容を整理して明瞭な発表を行い，質問に対しても的確に応答できる能力． |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | | The goal is twofold. You will to acquire basic knowledge and skills on Topology and Geometry as well as an ability to apply logical reasoning in seeking solutions to Mathematical problems. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 次のテーマのどちらかを選択します．
【特性類あるいは K 理論とその応用】特性類は、群のコホモロジーとの関連や二次特性類への拡張などを含めて種々の一般化が行われており、現在でも活発な研究が行われている対象です．またアティヤー-シンガー(Atiyah-Singer) 指数定理は20世紀数学の精華のひとつであり，特性類理論の深遠な応用を与えます．さらにK理論は、Atiyah-Singer指数定理の延長上にある非可換幾何において，重要な役割を果たします．このテーマでは具体的には以下の内容を扱います：
A) スティーフェル-ホイットニー(Stiefel-Whitney) 類・チャーン(Chern) 類・ポントリャーギン(Pontrjagin) 類などの特性類とその応用に関する基本知識；
B) 位相幾何から関数解析まで含めた広い分野への適用を意識したK理論の基本知識．
【結び目絡み目や3次元多様体からの位相幾何】結び目・絡み目・曲面・3次元多様体などは，位相幾何および微分幾何における最も重要な研究対象であるといっても過言でありません．このテーマでは，これらの対象を詳細かつ具体的に扱うことで，履修者が有する位相幾何学の基本知識や技量を蓄積・向上させます．
いずれのテーマも前後期ともに毎週90分から180分程度の時間で少人数クラスを開催します．参加者の興味と到達度を考慮して，以下に挙げたテキストのいずれかを選び，毎回1名から2名の発表者を指定して，輪講形式での学習を行います．発表者には特に入念な準備が求められます．
[Characteristic classes and/or K-theory and its applications]
The theory on Characteristic classes is generalized even now including applications to group cohomology and secondary characteristic classes and it is active research area in Topology. The Atiya-Singer Index theorem is one of the most celebrated theorem in the 20th century, which provides profound applications of Characteristic classes. The K-theory also plays an important role in Noncommutative Geometry, in which the Atiyah-Singer Index theorem is much generalized. In the courses, we deal with the following topics:
A) The Stiefel-Whitney, Chern and Pontrjagin classes and their applications to Topology;
B) Foundations of the K-theory including applications to Topology and even Functional Analysis.
[Topology from Knots, links and 3-dimensional manifolds] Knots, links and 3-dimensional manifolds are definitely the most important objects in Topology and Geometry. This course will accumulate and enhance knowledge and skills in Topolology dealing with them in detail.
The course is organized as a seminar and will be provided in 90/180 minutes. We shall use one of the following textbooks depending on the interest and backgrounds of students. |
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履修条件
Course Prerequisites | | 線型代数や微積分の内容をしっかりと理解していることは大前提です．また位相空間論を理解していることを前提とします．また3年次までに学習した内容を理解して，使えるようにしておくことが望まれます．しかしそれ以上に，率先して文献等に当り，例え知らないことであっても調べて身につけようという自主性が重要です．
【定員超過の際の選考方法について】定員を上回る学生が分属を希望した場合には，まず希望者全員と相談を行い，幾何系科目の習得度を考慮して分属者を決定します．
この講義は日本語で行います．
This course will be offered in Japanese. |
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関連する科目
Related Courses | | |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | | セミナーでの発表内容と参加状況から，位相幾何学の基礎知識の習熟度と，明瞭な発表と適切な応答を行う能力の獲得度を評価します．各学期で課せられた数回の発表を行い，他者による発表にも積極的に参加して貢献することを合格の基準とします． |
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教科書・テキスト
Textbook | | | 各履修者と相談して，以下の参考書リストの中からテキストを選定します． |
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参考書
Reference Book | | [M] Milnor, Characteristic classes, Princeton University Press
[Mo] 森田茂之、微分形式の幾何学，岩波書店
[BT] Bott-Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag
[Ro] Rolfsen, Knots and Links, AMS Chelsea Publishing
[W] Wegge-Olsen, K-theory and C＊-algebras, Oxford University Press
[D] Dupont, Curvature and characteristic classes, LNM 640, Springer-Verlag
[S] Shanahan, The Atiyah-Singer Index Theorem, LNM 638, Springer-Verlag
[R] Roe, Elliptic operators, topology and asymptotic methods. Longman |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | | 輪講形式で授業を進めますので，とくに発表者には入念な準備を求めます．毎回発表をするわけではありませんが，発表回では授業時間の数倍にあたる時間をかけてテキストの予習をしてください． |
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注意事項
Notice for Students | | | 分属を希望する場合には，メイルでの連絡をお願いします．オンライン等での面談も可能です． |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions of Other department student's attendance | | |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | | 特性類，Ｋ理論，アティヤー・シンガー(Atiyah-Singer) 指数定理，結び目絡み目，曲面，3次元多様体 |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | 予備知識として，学部3 年生までに学習する内容は不可欠です．また線型代数や微積分学の内容をしっかりと理解していることは大前提です．加えて、多様体の基礎知識とホモロジー論などの位相幾何の初等知識、微分幾何の初等知識をもっていることを望みます（しかし前提条件ではありません）．ただし[W] をテキストとして選ぶ場合には，位相幾何・微分幾何の初等知識は無くても構いません．しかし関数解析の初等知識（ヒルベルト空間、線形作用素など）を持っていることを期待します（前提条件ではありません）． |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | | その場合に必要なURLなどはメイル等を通じて連絡します． |
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