授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | テーマ：可換環論
可換環論は、文字通り（積が）可換な環の理論です。代数幾何学、整数論、表現論、非可換環論、位相幾何学、組合せ論、計算機代数、そして近年では統計学や物理学など、さまざまな分野と関わりを持っています。この少人数クラスでは、まず[1,3]などを用いて可換環論の基礎知識を身につけます。その後はいろいろな方向があるので、受講生と相談してテキストを決めます。たとえば可換環の表現論を学ぶ場合は、[2,4]などを用いることになります。 |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | | Commutative algebra studies commutative rings, that is, rings with commutative multiplication. The definition of a commutative ring is that of a field minus the division axiom. Commutative algebra is closely related to many areas including algebraic geometry, algebraic topology, number theory, representation theory, noncommutative algebra, algebraic combinatorics, computer algebra, and recently even to statistics and physics. In this course, all the students first learn fundamentals of commutative algebra by using [1,3]. Then each student chooses a textbook of a specific branch of commutative algebra. For example, if he/she wants to study the representation theory of commutative rings, he/she should choose [2,4]. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | | どの方向を選ぶかで到達目標は変わります。たとえば可換環の表現論を選んだ場合は、「有限Cohen-Macaulay表現型のGorenstein環は単純特異点であり極大Cohen-Macaulay加群がすべて分類できる」というBuchweitz-Greuel-Herzog-Knoerrer-Schreyerの定理が一つの到達目標になります。 |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | | It depends on which aspect you choose. If you choose the representation theory of commutative rings, one of the goals is the theorem of Buchweitz-Greuel-Herzog-Knoerrer-Schreyer which asserts that a Gorenstein ring of finite Cohen-Macaulay representation type is a simple singularity and the maximal Cohen-Macaulay modules can be classified completely. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 週に1～2回、学生が教科書を読んで発表するセミナー形式で行います。
Each student reads a textbook and explains it at a seminar held once or twice a week. |
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履修条件
Course Prerequisites | | 学部で習う代数（線形代数・群論・環論・体論）や位相空間論は必須です。
This course is taught in Japanese. |
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関連する科目
Related Courses | | |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | | セミナー発表を通して理解度を測り、それに応じて評価します。 |
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教科書・テキスト
Textbook | | [1] W. Bruns; J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Revised edition, Cambridge University Press, 1998.
[2] G. J. Leuschke; R. Wiegand, Cohen-Macaulay representations, American Mathematical Society, 2012.
[3] 松村 英之, 復刊 可換環論, 共立出版, 2000.
[4] Y. Yoshino, Cohen-Macaulay modules over Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1990. |
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参考書
Reference Book | | | [5] 森田康夫, 代数概論, 裳華房, 1987. |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | | 学生が発表するセミナー形式のため、予習が必須となります。 |
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注意事項
Notice for Students | | |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions of Other department student's attendance | | |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | | 可換環、イデアル、加群、鎖複体、Noether環、局所環、Cohen-Macaulay環、Cohen-Macaulay加群、Gorenstein環、導来圏 |
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履修の際のアドバイス
Advice | | [5]の第IV章第4節に出ている程度のホモロジー代数の知識は予め習得しておくことが望ましいです。
セミナー発表の準備段階で最も大切なことは、理由を聞かれた場合に説明できないような箇所を残したまま読み進めないようにすることです。何時間もかけてほんの数行しか読み進められなくても、一行一行理解できるまでじっくり読み込むという姿勢が重要です。 |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | | 名古屋大学の活動指針で許可されている限り、対面で黒板を用いて行います。 |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | |
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