授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | テーマ「数理物理に現れる偏微分方程式の関数解析的手法による解析」
数理物理に現れる偏微分方程式の中でも特に, 波動現象を記述するモデルである, 分散型方程式及び波動方程式を扱います. このクラスに属する方程式の代表的なものとしては, 基本的なモデルである波動方程式, Klein-Gordon 方程式, Schrödinger 方程式の他, 弾性波動方程式 (地震波の伝播), Einstein 方程式 (宇宙論), KdV 方程式 (浅い水面波) 等があります.
この少人数クラスでは, 分散型方程式及び波動方程式を扱う際の基礎となる実解析・フーリエ解析・超関数の理論等を身につけること, 非線型偏微分方程式に対する関数解析的手法を習得すること, そしてそれらを具体的な分散型及び波動方程式に対して応用できるようになることを目標とします.
また, 聴衆を前にして数学的に筋道の通った話ができ, 質問に対して的確に受け答えできるようになることも目標となります.
基本的に 1 年生を対象とする継続を目指したコースとしますが, ある程度の予備知識がある場合は 2 年生でも受け入れ可能です. |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | Theme: Mathematical Analysis of Partial Differential Equations arising in Mathematical Physics
This course deals with nonlinear wave and dispersive equations, which describe wave propagation phenomena. Typical examples of such equations are wave equations, Klein-Gordon equations, and Schrödinger equations. Other than such basic equations, the elastic wave equations (seismology), the Einstein equations (cosmology), the KdV equation (water waves) are typical equations in this category of partial differential equations. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | 少人数クラスで扱われる題材を通して偏微分方程式の研究に必要となるフーリエ解析・関数解析・超関数等に習熟すること, 偏微分方程式を関数解析的枠組みで扱う手法を学ぶこと, それぞれの偏微分方程式の解に特有の様々な性質を理解することを到達目標とします.
また, 聴衆を前にして数学的に筋道の通った話ができ, 質問に対して的確に受け答えできるようになることも目標になります. |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | The purpose of this course are:
1) to learn the basics of the real analysis, the Fourier analysis, the functional analysis, and the theory of distributions, to apply the analysis of partial differential equations,
2) to learn the functional analytic methods for nonlinear partial differential equations,
3) to apply such theories and methods to concrete equations. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 1年目は下記の参考書等からテキストを選択してもらい, 週 1 回程度の輪講形式で読み進め, 専門的な論文が読めるよう基礎的な力を養うことを目標とします.
発表の際は事前に十分な準備をして望んで下さい.
First year students are to learn basic knowledge through reading one of the following texts at the seminar, which will be conducted once a week. |
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履修条件
Course Prerequisites | | ルベーグ積分, 関数解析について基本的な知識があることが望ましい.
This course will be conducted in Japanese. |
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関連する科目
Related Courses | | | 未履修の場合は, 春学期に開講される「関数解析」の講義を受講することが望ましい. |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | 少人数クラスにおける学習研究を総合評価する.
発表の準備が十分できているか, 質問に適切に返答できるかといったことが評価対象になります. |
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教科書・テキスト
Textbook | | [1] F. Linares, G. Ponce, "Introduction to Nonlinear Dispersive Equations," 2nd Ed., Springer (2015).
[2] H. Bahouri, J.-Y. Chemin, R. Danchin, "Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations," Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 343, Springer (2011).
[3] 小川卓克『非線型発展方程式の実解析的手法』シュプリンガー現代数学シリーズ 18, 丸善出版 (2013).
[4] 堤誉志雄『偏微分方程式論』培風館 (2004)
[5] L. C. Evans, ``Partial Differential Equations," 2nd Ed., GSM 19, Amer. Math. Soc. (2010). |
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参考書
Reference Book | | |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | |
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注意事項
Notice for Students | | |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions of Other department student's attendance | | |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | | 偏微分方程式, Fourier 解析, 波動方程式, 分散型方程式 |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | ルベーグ積分, 関数解析の基本的な知識があることが望ましいが, 必要に応じて補えばよい. |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | | 必要に応じて指示する. 書き込みのできるデバイスを準備しておくのが望ましい. |
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