学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate
理学部
時間割コード
Registration Code
0610026
科目区分
Course Category
専門科目
Specialized Courses
科目名 【日本語】
Course Title
数学研究NⅡ
科目名 【英語】
Course Title
Undergraduate Seminar NII
コースナンバリングコード
Course Numbering Code
担当教員 【日本語】
Instructor
髙橋 亮 ○
担当教員 【英語】
Instructor
TAKAHASHI Ryo ○
単位数
Credits
6
開講期・開講時間帯
Term / Day / Period
秋 水曜日 3時限
秋 水曜日 4時限
Fall Wed 3
Fall Wed 4
授業形態
Course style
セミナ-
Seminar
学科・専攻
Department / Program
数理学科
必修・選択
Compulsory / Selected
選択必修


授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN)
テーマ:可換環論入門
可換環論は、文字通り可換な環の理論です。可換環論は、代数幾何学、整数論、非可換環論、表現論、代数的位相幾何学、代数的組合せ論、計算機代数、そして近年では統計学や物理学など、さまざまな分野と関わっています。その一方で、[M1]の序文の冒頭にあるように、可換環論はそれ自体で纏まった美しく深い理論でもあります。この授業の目的は、可換環論の基礎理論を学ぶことです。
授業の目的 【英語】
Goals of the Course
Theme: Introduction to Commutative Algebra
Commutative algebra is the theory of commutative rings. This theory has close relationships with many areas of mathematics, including algebraic geometry, number theory, noncommutative algebra, representation theory, algebraic topology, algebraic combinatorics, computational algebra, and recently, even statistics and physics. On the other hand, commutative algebra is a beautiful and deep theory in its own right, as stated at the beginning of the introduction of [M2]. The purpose of this course is to learn the basics of commutative algebra.
到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN))
学生の持ち合わせている知識量によって到達目標が変わります。
(1) 今年度の代数学要論II([G]の第1~3章)の内容以上の知識がない場合、正則局所環に関するSerreの定理およびKrull次元に関する次元定理を理解することが到達目標になります。
(2) 既に(1)の知識を修得済みの場合、Gorenstein環に関するBassの定理および平坦性の局所的判定法を理解することが到達目標になります。
(3) 既に(1)および(2)の知識を修得済みの場合、Cohen-Macaulay局所環に対する局所双対定理およびイデアルの重複度の理論を理解することが到達目標になります。
到達目標 【英語】
Objectives of the Course
The goal depends on your knowledge of commutative algebra.
(1) If you have no knowledge more than Chapters 1-3 of [G], then your goal is to understand Serre's theorem on regular local rings and the dimension theorem on Krull dimension.
(2) If you have already learned the theorems in (1), then your goal is to understand Bass' theorem on Gorenstein rings and the local criteria for flatness.
(3) If you have already learned the theorems in (1) and (2), then your goal is to understand the local duality theorem for Cohen-Macaulay local rings and the theory of mulitplicities of ideals.
授業の内容や構成
Course Content / Plan
(1)の場合は、[G]の第4~7章および[H]の第4~7章を読みます。(2)の場合は、[M1]の第6~8章を読みます。(3)の場合は、[BH]の第3~4節を読みます。いずれの場合でも、授業前に教科書を十分に読み込んでくること、授業後にしっかり復習して理解を確実なものにすることが肝要です。
履修条件
Course Prerequisites
3年前期までの学業成績や3年後期の履修科目、およびこれまでの自主学習の内容などを考慮して分属者を決定します。
This course is given in Japanese.
関連する科目
Related Courses
代数学要論II
成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria
用いた教科書の内容をセミナー発表で適切に説明できること、基本的な概念や用語を正しく理解していることを合格の基準とします。
不可(F)と欠席(W)の基準
Criteria for "Fail (F)" & "Absent (W)" grades
履修が取り下げられた場合は欠席(W)となります。履修が取り下げられず、セミナー発表時の担当教員からの質問に十分に答えられなかった場合は不可(F)となります。
参考書
Reference Book
[AM] M. F. Atiyah; I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1994.
[B] N. Bourbaki, Commutative algebra, Chapters 1–7, Springer, 1998.
[E] D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, 1995.
[M2] H. Matsumura, Commutative ring theory, Second edition, Cambridge University Press, 1989.
教科書・テキスト
Textbook
[BH] W. Bruns; J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1998.
[G] 後藤四郎, 可換環論の勘どころ, 共立出版, 2017.
[GW] 後藤四郎; 渡辺敬一, 可換環論, 日本評論社, 2011.
[H] 堀田良之, 可換環と体, 岩波書店, 2006.
[M1] 松村英之, 復刊 可換環論, 共立出版, 2000.
課外学習等(授業時間外学習の指示)
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours)
セミナー発表の準備段階で最も大切なことは、理由を聞かれた場合に説明できないような箇所を残したまま読み進めないようにすることです。何時間もかけてほんの数行しか読み進められなくても一行一行理解できるまでじっくり読み込むという姿勢で取り組んでください。
注意事項
Notice for Students
他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance
他学科聴講の条件
Conditions for Other department student's attendance
あらかじめ担当教員にメールで連絡してください。
レベル
Level
2
キーワード
Keyword
正則局所環,Krull次元,Cohen-Macaulay環,Gorenstein環,局所コホモロジー,重複度
履修の際のアドバイス
Advice
授業開講形態等
Lecture format, etc.
学生が教科書を読んで発表するセミナー形式で行います。
遠隔授業(オンデマンド型)で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class)