学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate		理学部
時間割コード
Registration Code		0611320
科目区分
Course Category		専門科目
Specialized Courses
科目名　【日本語】
Course Title		幾何学要論Ⅱ
科目名　【英語】
Course Title		Elements of Geometry II
コースナンバリングコード
Course Numbering Code
担当教員　【日本語】
Instructor		小林　亮一 ○
担当教員　【英語】
Instructor		KOBAYASHI Ryohichi ○
単位数
Credits		6
開講期・開講時間帯
Term / Day / Period		秋 木曜日 １時限
秋 木曜日 ２時限
Fall Thu 1
Fall Thu 2
授業形態
Course style		講義
Lecture
学科・専攻
Department / Program
数理学科
必修・選択
Compulsory / Selected
選択


授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)
次の三項目を学ぶことにより，滑らかな多様体の概念と親しくなること．
(1) 滑からな多様体とは何か ?
(2) 多様体上の解析学とは何か ?
(3) 多様体上で解析学ができると何が嬉しいか ?
授業の目的　【英語】
Goals of the Course
By answering the following three basic questions, I introduce students to smooth manifolds :
(1) What is smooth manifolds ?
(2) What is the calculus on manifolds ?
(3) What the calculus on manifolds is good for ?
到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))
(1) なめらかな多様体の基礎．
(2) 微分形式の基礎．
(3) 微分形式の，多様体状の解析，多様体の幾何とトポロジーへのさまざまな応用．
到達目標　【英語】
Objectives of the Course
(1) Basic properties of smooth mappings.
(2) Basics on differential forms.
(3) Various applications of differential forms to analysis, geometry and topology of manifolds.
授業の内容や構成
Course Content / Plan
1. 滑らかな写像の基礎：逆関数定理．陰関数定理．階数定理．
2. 滑らかな多様体の概念：多様体の定義．局所座標と局所座標系．部分多様体．埋め込みとはめ込み．単位の分割．
接ベクトル空間．接バンドル．なめらかな多様体の間のなめらかな写像とその微分写像．
3. 微分形式の基礎：なぜ微分形式が必要か．線形代数の準備．微分形式とその上のオペレーション．外微分と写像の効果．多様体の向きと微分形式の積分．
4. Stokesの定理 : 境界付き多様体．Stokesの定理の定式化とその証明．Stokesの定理のさまざまな応用，とくにGauss-Bonnetの定理再訪．
5. 微分形式とトポロジー：曲面のDe Rhamコホモロジーとその計算．コンパクト台のコホモロジーとポアンカレ双対．
6. ベクトル場：ベクトル馬と積分曲線．接分布とその積分多様体．Frobeniusの定理．
履修条件
Course Prerequisites
微積分と線形代数は前提．位相空間（適宜，復習する）．曲面論（適宜，復習する）．
関連する科目
Related Courses
曲面論．
成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria
レポート５割，期末テスト５割で成績を評価する．
不可(F)と欠席(W)の基準
Criteria for "Fail (F)" & "Absent (W)" grades
各回のレポート提出で出席とする．
参考書
Reference Book
[1] 松本幸夫「多様体の基礎」東大出版会 (1988)

[2] R.Bott and L.Tu, ``Differential Forms in Algebraic Topology'', Springer (1982)　（日本語訳あり）．

[3] N.Hitchin, ``Differentiable Manifolds'' （2012, onlineで公開されている）

[4] 森田茂之「微分形式の幾何学」岩波講座現代数学の基礎 (2005)

[5] I.M.Singer and J.A.Thorpe, ``Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry'', Springer (1967) （日本語訳あり）．

[6] F.Warner, ``Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups'', Springer (1983)

[7] S.K.Donaldson, ``Riemann Surfaces'', Oxford Graduate Texts in Mathematics (2011)
教科書・テキスト
Textbook
特に指定はしない．オンデマンド遠隔講義なので，毎回の講義解説資料を nuct にアップロードする．
参考書リストを参考に自分の好きな教科書を見つけてほしい．
課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours)
毎回，講義内容に関連する課題を解いて提出してもらいます．従って，講義内容を理解するには，講義時間の数倍の自習時間が必要だと思います．
注意事項
Notice for Students
疑問が生じたら，自分は何がわからないかをよく考えて，nuct のメッセージ機能とか，課題提出のついでに，
質問をしてください．必ず私が返信します．
他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance
歓迎します．
他学科聴講の条件
Conditions for Other department student's attendance
特にありません．
レベル
Level
1
キーワード
Keyword
滑らかな多様体．微分形式と積分．Stokesの定理．De Rhamコホモロジー．
履修の際のアドバイス
Advice
忘れないでほしいことは，この講義は幾何を楽しんでもらうための講義だということです．
授業開講形態等
Lecture format, etc.
オンデマンド形式の遠隔講義．第n回講義予定日の数日前に第n回講義資料を nuct にアップロードし，同解説動画をnussに置いて，皆さんがダウンロードできるようにします．お好きな時に再生して学習してください．
遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class)
● 毎回，課題を出しますので nuct を通して提出してください．提出で出席とします．
● 期末テストも対面では行いません．早めに問題を nuct に公開し，何度も私とコミュニケーションを取りながら答案の完成度を上げられる設定にする予定．