授業の目的 【日本語】 Goals of the Course(JPN) | | 微分幾何の入門的な講義を行う.具体例を通じて多様体,リー群,等質空間,リーマン幾何に親しむことを目的とする. |
|
|
授業の目的 【英語】 Goals of the Course | | We give an introduction to differential geometry. The aim of this lecture is to understand the notions of manifolds, Lie groups, homogeneous spaces and Riemannian geometry via many examples. |
|
|
到達目標 【日本語】 Objectives of the Course(JPN)) | | 多様体,リー群,等質空間,リーマン幾何について,様々な具体例を用いて説明できるようになることが目標である. |
|
|
到達目標 【英語】 Objectives of the Course | | The goal of this lecture is to be able to explain the notions of manifolds, Lie groups, homogeneous spaces and Riemannian geometry using many examples. |
|
|
授業の内容や構成 Course Content / Plan | | 具体例を通じて多様体,リー群,等質空間,リーマン多様体,ケーラー多様体に親しむことを目的とする.まず多様体の基礎を確認した後,主に球面や双曲空間に関する幾何学を通じて,リー群や等質空間,対称空間の概念に触れる.講義を通じて多く登場するリー群は SO(3), SO(4), SU(2), SU(1,1), SL(2,R), SL(2,C) などである.続いてリーマン幾何の基礎,レビ・チビタ接続,測地線の基本事項を学ぶ.さらに複素構造,シンプレクティック構造にも触れる.その後はこれらの概念に具体例を通じて親しむことを目標とする.特に3次元球面 S^3 の測地線のなす空間 G(S^3)については様々な角度から検討する.この空間は4次元ベクトル空間の中の2次元部分空間がなすグラスマン多様体と同一視され,2次元球面の直積とも同一視される.具体的にはSO(4)の等質空間表示や外積代数の部分多様体としての表示,複素射影空間の中の2次曲面表示など様々な特徴付けができる.この空間 G(S^3) に入る2つの標準的なケーラー構造(リーマン構造,複素構造,シンプレクティック構造が三つ巴になった構造)を良く理解することが1つの目標である.さらに,3次元球面 S^3 の中の曲面のガウス写像(曲面から G(S^3)への写像)についても考察する. |
|
|
履修条件 Course Prerequisites | | 線形代数と微分積分の内容は必須.位相空間および3年生の幾何学の講義の内容には親しんでいることが望ましい.また,多様体に親しんでいることも望ましいが,多様体を学習中の4年生でも十分楽しめる内容にするつもりである. |
|
|
関連する科目 Related Courses | | |
|
成績評価の方法と基準 Course Evaluation Method and Criteria | | レポート課題の成績で評価する.詳細は初回の講義で説明する. |
|
|
教科書・テキスト Textbook | | |
|
参考書 Reference Book | | |
|
課外学習等(授業時間外学習の指示) Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | 予習は必要ない.講義の後の復習やレポート課題に時間をかけて取り組んで欲しい. |
|
|
注意事項 Notice for Students | | |
|
他学科聴講の可否 Propriety of Other department student's attendance | | |
|
他学科聴講の条件 Conditions of Other department student's attendance | | |
|
レベル Level | | |
|
キーワード Keyword | | 多様体,3次元球面,ホップ束,リー群,等質空間,リーマン幾何,測地線,グラスマン多様体,複素射影空間,複素構造,シンプレクティック構造,ケーラー構造. |
|
|
履修の際のアドバイス Advice | | それほど多くの予備知識を仮定しないので,気軽に聞きに来て下さい. |
|
|
授業開講形態等 Lecture format, etc. | | |
|
遠隔授業(オンデマンド型)で行う場合の追加措置 Additional measures for remote class (on-demand class) | | (コロナの感染状況によりやむを得ず)遠隔授業に切り替える際は詳細をNUCTで連絡する. |
|
|