学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate

多・博前

時間割コード
Registration Code

3211118

科目区分
Course Category

Ａ類Ⅲ（集中講義）
Category A-3

科目名　【日本語】
Course Title

複素幾何学特別講義Ⅱ

科目名　【英語】
Course Title

Special Course on Complex Geometry Ⅱ

コースナンバリングコード
Course Numbering Code

担当教員　【日本語】
Instructor

伊師　英之 ○

担当教員　【英語】
Instructor

ISHI Hideyuki ○

単位数
Credits

開講期・開講時間帯
Term / Day / Period

秋集中その他その他
Intensive(Fall) Other Other

授業形態
Course style

学科・専攻
Department / Program

多元数理科学研究科

必修・選択
Required / Selected

選択

授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)

対称性は幾何学において最も基本的な概念の一つであり，現代数学では群論によって捉えられる．本講座では複素幾何における対称性をリー群の表現論との関わりのなかで深く理解することを目的とする．

授業の目的　【英語】
Goals of the Course

The symmetry is one of the most fundamental notion in geometry. In moderny mathematics, we capture the symmetry via group theory. The aim of this course is to get a deep insight about the symmetry in complex geometry in connection with the representation theory of Lie groups.

到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))

学生はリー群の表現論を通じて複素幾何における対称性を深く理解し，その知識をリーマン球面や単位円板のような具体例に対して応用できるようになる．

到達目標　【英語】
Objectives of the Course

A student will gain deep insight about the symmetry in complex geometry, and will be able to apply the knowledge to concrete examples like the Riemann sphere and the unit disk.

授業の内容や構成
Course Content / Plan

一般に群が空間に作用しているとき，空間上の函数空間には群の線型表現が自然に定義される．一方，射影空間のようなコンパクト複素多様体上で定義される正則函数は定数のみである．このような事情をふまえて，複素幾何において群作用から表現を構成する舞台としては，同変正則直線束を考えることが自然である．実際，半単純コンパクト・リー群の全ての既約表現は，旗多様体とよばれる等質複素多様体上の同変正則直線束の正則切断の空間において実現されることが知られている（ボレル・ヴェイユの定理）．一般に，等質同変正則直線束に実現されるユニタリ表現は最高ウェイトユニタリ表現に他ならず，リー群がユニモジュラーのときは，その分類が知られている．ユニモジュラーでない群の最高ウェイトユニタリ表現の分類は未解決だが，近年大きな進展があった．本講義では，これらの話題について論じ，複素幾何における対称性とリー群の表現論との結びつきを深く理解することを目指す．

第一回　主問題と講義の概観
本講義で考えていく主問題『等質な複素多様体上の同変正則直線束の正則切断の空間に実現されるリー群のユニタリ表現の分類』について，簡単な具体例を交えてその意味を説明し，問題へのアプローチと講義の流れを概観する．

第二回　リー群とリー代数のユニタリ表現
リー群とは多様体の構造をもつ群であり，その単位元における接空間を，リー群に付随するリー代数という．リー群とリー代数は微分幾何および複素幾何において対称性を記述する強力な道具である．ここではリー群とリー代数の関係，とくにそれらのユニタリ表現の関係について基本的な事実を論じる．

第三回　同変正則直線束（その１）
同変正則直線束の正則切断は，リー群上の微分方程式系の解として記述される．これによってリー群の最高ウェイト表現と同変正則直線束とのつながりが自然に現れることを説明する．

第四回　同変正則直線束（その２）
同変正則直線束の正則切断からなるヒルベルト空間で群不変かつ自明でないものは，存在すれば唯一つであることを証明する．

第五回　最高ウェイトユニタリ表現
第四回で構成したユニタリ表現は広義の最高ウェイトユニタリ表現であり，しかも全ての最高ウェイトユニタリ表現はそのように構成されるというボレル・ヴェイユ型定理を証明する．

第六回　等質ケーラー多様体
第四回で構成したユニタリ表現を許容する複素多様体は本質的にケーラー多様体の構造をもつことを説明し，等質ケーラー多様体の基本定理を紹介して，それが最高ウェイトユニタリ表現の分類において果たす役割を展望する．

In general, when a group acts on a space, we get naturally a linear representation of the group on a space of functions over the space. On the other hand, a holomorphic function defined on a compact complex manifold like a projective space must be constant. Given these facts, we see that an equivariant holomorphic line bundle is a proper stage for the construction of a group representation from a complex geometric viewpoint. Indeed, it is known that every irreducible representation of a semi-simple compact Lie group is realized on the space of holomorphic sections of an equivariant holomorphic line bundle over a complex flag manifold (Borel-Weil theorem). In general, a unitary representation realized on a Hilbert space of holomorphic sections over an equivariant holomorphic line bundle is nothing else but a highest-weight unitary representation, and the classification of highest-weight unitary representations of unimodular Lie groups is already known. The classification for general (not necessarily unimodular) Lie group is still an open problem,
whereas we have had a breakthrough for the problem recently. In this series of lectures, we discuss such topics so that we have a deep insight into the connection between symmetry in the complex geometry and the representation theory of Lie groups.

Lecture I: The main problem and the overview of the lectures.
We explain the meaning of the main problem "the classification of unitary representations of Lie groups realized on Hilbert spaces of holomorphic sections of equivariant holomorphic line bundles over homogeneous complex manifold" through simple concrete examples. And we overview approaches to the problem and organization of the succeeding lectures.

Lecture II: Unitary representations of Lie groups and Lie algebras.
Roughly speaking, a Lie group is a group equipped with a structure of manifold, the tangent space at the unit element is called the Lie algebra associated to the Lie group. Lie groups and Lie algebras are useful tools for the description of symmetry in complex geometry. In this lecture, we discuss relations between Lie groups and Lie algebras. In particular, we explain basic facts about unitary representations of a Lie group and the ones of the associated Lie algebra.

Lecture III:　Equivariant holomorphic line bundles, I.
A holomorphic section of an equivariant holomorphic line bundle is described as a solution of a system of differential equations. Then we observe that a highest-weight unitary representation arises from a holomorphic equivariant line bundle naturally.

Lecture IV: Equivariant holomorphic line bundles, II.
We prove the uniqueness of a non-trivial invariant Hilbert space of holomorphic sections of an equivariant holomorphic line bundle provided that it exists.

Lecture V: Highest-weight unitary representation
We prove a Borel-Weil type theorem claiming that the unitary representation discussed in Lecture IV is a (generalized) highest-weight unitary representation, and that every highest-weight unitary representation is constructed in this way.

Lecture VI: Homogeneous Kahler manifold
We prove that a homogeneous complex manifold admitting a unitary representation in Lecture IV has the structure of a homogeneous Kahler manifold. Then we explain the fundamental theorem of homogeneous Kahler manifolds, and look to the role of the fundamental theorem in the classification of highest-weight unitary representations.

履修条件
Course Prerequisites

なし

This course will be taught in Japanese.