学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate

多・博前

時間割コード
Registration Code

3213038

科目区分
Course Category

Ｃ類（実習）
Category C

科目名　【日本語】
Course Title

代数学実習２

科目名　【英語】
Course Title

Practical Class on Algebra 2

コースナンバリングコード
Course Numbering Code

担当教員　【日本語】
Instructor

岡田　聡一 ○

担当教員　【英語】
Instructor

OKADA Soichi ○

単位数
Credits

開講期・開講時間帯
Term / Day / Period

秋集中その他その他
Intensive(Fall) Other Other

授業形態
Course style

学科・専攻
Department / Program

多元数理科学研究科

必修・選択
Required / Selected

選択必修

授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)

テーマ：対称関数とその広がり

この少人数クラスでは，対称関数（特にSchur関数やその一般化）の理論や，関連するYoung図形などの組合せ論，対称群や古典群などの表現論などについて学習・研究を進める．

授業の目的　【英語】
Goals of the Course

Theme: Symmetric functions and related topics

This course (small group class) deals with the theory of symmetric functions and related combinatorics and representation theory.

到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))

対称関数の理論や関連する諸分野の基礎を習得し，自分の研究を開始できるようになることを目標とする．また，文献を読んでその内容を理解し，さらにそれを他人に説明ができ，的確に質疑応答ができるようになることも重要な目標となる．

到達目標　【英語】
Objectives of the Course

The goals of this course are to
- acquire the basics of the theory of symmetric functions and related fields,
- be able to start you own research,
- obtain strong skills in reading and writing so that you can freely exchange mathematical ideas with others.

授業の内容や構成
Course Content / Plan

対称式（変数の置換に関して不変な多項式）やその無限変数版である対称関数は，数学の多くの場面に現れる基本的な対象である．特に，Schur関数と呼ばれる対称式（関数）は，表現論や組合せ論をはじめ，多くの分野において重要な役割を果たしている．例えば，次のような形で現れている．

・一般線型群の既約表現の指標，
・対称群の既約指標の値の母関数，
・半標準盤と呼ばれる組合せ論的対象の母関数，
・グラスマン多様体のコホモロジー環の基底，
・アフィンLie代数のある種の表現の基底，
・KP階層と呼ばれるソリトン方程式（微分方程式系）の解，
・円周上の自由電子の波動関数，...

そして，このように Schur関数が多くの側面をもつことから，その相互関係を通して多くの実りある結果が得られている．また，それぞれの側面からSchur関数の一般化や変種が考えられ，現在でも活発に研究が進められている．

この少人数クラスは，基本的には毎週3時間程度（時間は参加者数に依る）輪講形式で行い，休暇中は開講しない．対称関数の予備知識がない場合は参考書の [1] の Chapter I，[2] の Chapter 7，[3] の第 9 章などに基づいて，対称関数の理論の基礎と関連するYoung図形などの組合せ論，対称群や古典群などの表現論を学習する．その後は，各自が選んだテーマに関する発表を中心とする．また，表現論，組合せ論などの予備知識がある場合は，春学期から予備知識を生かして各自が選んだテーマを扱う．具体的な内容やテキストなどは参加者と相談の上決定する．

Symmetric functions appear in many areas of mathematics and physics. In particular, Schur functions plays an important role in many branches such as representation theory and combinatorics. They describe
- the irreducible characters of general linear groups,
- the irreducible characters of symmetric groups,
- the generating functions of semistandard tableaux,
- the Schubert basis of the cohomology ring of Grassmann varieties,

In this course, we meet every week (except for summer, winter, and spring vacations). We start with studying the basics of the theory of symmetric functions and related combinatorics and representation theory based on Chapter I of [1], Chapter 7 of [2], or Chapter 9 of [3].

履修条件
Course Prerequisites

レベル1の知識（学部3年生までに学習する程度のもの）があれば十分である．特に，線型代数や群論などの基礎をしっかりと理解していればよい．