授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | | 図形や空間を研究する幾何学への現代的入門を行う．空間を「外側」から見た形は素朴な意味での形であるが，現代幾何学では外側を考えなくとも，空間自身のもつ「内在」的意味を理解することが重要であり，空間の新しい捉え方を学ぶ．内在的な形を研究するために「外在」的意味を考えることも重要となる．また形には，「局所」的な側面と「大域」的な側面がある．局所と大域の関連は，この講義で取り上げる重要な幾何学の視点である．本講義の目的は，現代幾何学のこれらの考え方を曲面を素材として学ぶことである． |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | | Geometry is a branch of mathematics which aims to understand spaces. Using surfaces as main examples, we provide an introduction to modern geometry. Two view points, outside/inside and local/global, will be emphasized in this course. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | | 本講義の到達目標は，「Gauss の驚異の定理」と「Gauss-Bonnetの定理とその応用例を理解すること」により，outside/inside（外在/内在） および local/global (局所/大域)の考え方を身につける．Gauss-Bonnetの定理は，深く美しい定理であり，現代数学の源泉のひとつといっても過言ではない． |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | | The objective of this course is to help students acquire the necessary skills and knowledge on modern geometry of surfaces, including Gauss' `Theorema Egregium' and Gauss-Bonnet's theorem. During the course students acquire the fundamental principle in geometry, outside/inside and local/global. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 曲面の定義．曲面の位相的側面（Euler数）．曲面の複素関数論的側面（Riemann面入門）．3次元空間内の曲面．曲面上の測量（第一基本形式，計量）．外側から見た曲面の曲がり具合（第二基本形式，曲率）．
Gauss曲率．Gaussの驚異の定理（内在的曲面論の誕生）．Gauss-Bonnetの定理．応用．
測地線，双曲平面（非ユークリッド幾何）などの中からトピックを選ぶ. |
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履修条件
Course Prerequisites | | | 微積分と線形代数の十分なバックグラウンドが必要である．また，複素関数論と位相空間論のそれぞれの初歩を仮定する．群論が現れるかもしれないが，これは「群とその空間への作用」の具体例と考えて欲しい．一方，本講義では，これらの数学と幾何学の関わりがテーマとなるので，本講義を通して復習できるだけでなく，理解を深めることが可能である．3年生以上対象科目。 |
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関連する科目
Related Courses | | | 全ての科目と関連している．特に位相空間論，複素関数論，測度論，群論．これらの数学は，本講義で具体例として何度も現れるであろう． |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | | （対面）期末試験の結果を主とする．コロナ感染状況によっては学期中に小テストを行い、あるいはレポートを課した場合は、これらの結果を加味して総合的に評価する。 |
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不可(F)と欠席(W)の基準
Criteria for "Fail (F)" & "Absent (W)" grades | | |
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参考書
Reference Book | | [1] N. J. Hitchin, ``Geometry of Surfaces'' (2013, onlineで入手可) .
[2] 宮岡礼子著「曲線と曲面の現代幾何学」岩波書店 (2019) .
必要に応じて随時講義内で紹介する． |
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教科書・テキスト
Textbook | | |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | | 毎回講義の内容を自分で再構築し復習すること。演習問題は必ず自分で考え、手を動かして計算すること。 |
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注意事項
Notice for Students | | |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions for Other department student's attendance | | |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | 曲線．曲面．第一基本形式（Riemann計量）．第二基本形式．測地線．Gauss曲率．位相不変量．計量不変量．
外在と内在．Gaussの驚異の定理．局所と大域．Gauss-Bonnetの定理． |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | 曲面の数学は，1変数及び多変数微積分，線形代数，複素関数論，位相の格好の応用の場である．これらの基礎的な数学の理解を深めることになる．この基礎の上に，幾何学の問題意識を学び，それらの一部がどのようにして解かれるかを学ぶのが，本講義でやることである．学生は，幾何学の問題意識とそれを解決するアイディアとは何なのかを意識しながら，曲面論を学んで欲しい． |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | | 可能な限り対面講義による．感染状況によってはオンラインによる．直前に変更になることもある．NUCTにおいて通知する． |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | |
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