学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate

理学部

時間割コード
Registration Code

0619311

科目区分
Course Category

専門科目
Specialized Courses

科目名　【日本語】
Course Title

代数学特別講義Ⅱ

科目名　【英語】
Course Title

Special Course on Algebra II

コースナンバリングコード
Course Numbering Code

担当教員　【日本語】
Instructor

神田　遼 ○

担当教員　【英語】
Instructor

KANDA Ryo ○

単位数
Credits

開講期・開講時間帯
Term / Day / Period

秋集中その他その他
Intensive(Fall) Other Other

授業形態
Course style

講義
Lecture

学科・専攻
Department / Program

数理学科

必修・選択
Compulsory / Selected

選択

授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)

与えられた環に対して、その加群のなすアーベル圏を調べることは、環の表現論における基本的な問題意識である。この授業ではアーベル圏の構造を調べるためのいくつかの手法、特にアーベル圏のスペクトラムを用いた手法を修得することを目的とする。

授業の目的　【英語】
Goals of the Course

One of the fundamental problems in the representation theory of rings is to study the abelian category consisting of the modules over the ring. The aim of this course is to learn several methods to study the structure of abelian categories, especially the spectrum of an abelian category.

到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))

・アーベル圏のスペクトラムの（1つの）定義と基本的な性質を理解すること。
・アーベル圏におけるいくつかの有限性条件を理解し、それを満たす典型例を挙げられること。
・部分圏や商圏の概念によって、環や加群に対するいくつかの概念がアーベル圏に一般化されることを理解すること。

到達目標　【英語】
Objectives of the Course

- To understand (one of) the definition(s) of the spectrum of an abelian category.
- To understand several finiteness conditions on an abelian category, and to be able to give typical examples satisfying those conditions.
- To understand how several notions on rings and modules can be generalized to abelian categories in terms of subcategories and quotient categories.

授業の内容や構成
Course Content / Plan

1. 大きい加群と小さい加群：可換環の素イデアルとGabrielスペクトラム
2. 加群のなす圏はどのような性質を持つか：アーベル圏、Grothendieck圏、有限性条件
3. 部分圏と商圏：Gabrielフィルターによる部分圏の分類、Gabriel-Popescuの埋め込み定理
4. 非可換環のスペクトラム：Reyesによるスペクトラムの非関手性定理
5. 片側スペクトラムと両側スペクトラムを繋ぐ橋：商環の存在定理のアーベル圏論的解釈

必ずしもこの順序で講義するわけではない。授業内容は聴衆からのフィードバック等に基づいて変更される可能性がある。

1. Big and small modules: prime ideals of commutative rings and Gabriel spectrum
2. What properties do module categories have: abelian categories, Grothendieck categories, and finiteness conditions
3. Subcategories and quotient categories: classification of subcategories via Gabriel filter and the Gabriel-Popescu embedding theorem
4. Spectra of noncommutative rings: the non-functoriality of spectrum due to Reyes
5. A bridge between the one-sided spectrum and the two-sided spectrum: abelian-categorical approach to the existence of quotient rings

Lectures will not necessarily be given in this order. The contents of lectures may be changed according to the feedback from the audience.

履修条件
Course Prerequisites

4年生対象科目。
環上の加群に関する基本的な知識（加群の直和、射影加群と移入加群、半単純加群など）を仮定する。
Basic knowledge on modules over rings (such as the direct sum of modules, projective and injective modules, and semisimple modules) are assumed.

This course will be taught in Japanese.