学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate

多・博前

時間割コード
Registration Code

3211102

科目区分
Course Category

Ａ類Ⅲ（集中講義）
Category A-3

科目名　【日本語】
Course Title

代数学特別講義Ⅱ

科目名　【英語】
Course Title

Special Course on Algebra Ⅱ

コースナンバリングコード
Course Numbering Code

担当教員　【日本語】
Instructor

戸田幸伸 ○

担当教員　【英語】
Instructor

TODA Yukinobu ○

単位数
Credits

開講期・開講時間帯
Term / Day / Period

秋集中その他その他
Intensive(Fall) Other Other

授業形態
Course style

学科・専攻
Department / Program

多元数理科学研究科

必修・選択
Required / Selected

選択

授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)

Donaldson-Thomas不変量とは3次元カラビヤウ多様体上の半安定連接層を数え上げる不変量であり、数え上げ幾何学における中心テーマの一つである。一方、代数多様体上の連接層の導来圏はミラー対称性、双有理幾何学、幾何表現論などにおいて種々の対称性を実現する道具として定着している。2008年頃から導来圏の壁超え理論を用いたDT理論の研究が大きく進展し、DT不変量の生成関数の様々な重要な結果が得られた。近年の重要な研究課題は、DT不変量を圏論化する「圏論的DT理論」を導入し、DT不変量の壁超え公式を圏論的Hall代数を用いて圏論化することにある。この授業では圏論的DT理論の理解に向けて連接層の導来圏・行列因子化・幾何的不変式論・窓定理・DT不変量の壁超え・安定性条件・導来シンプレクティック幾何学・圏論的Hall代数などの基礎事項ついて講義し、圏論的DT理論の最新の進展について解説する。

授業の目的　【英語】
Goals of the Course

The Donaldson-Thomas invariant counts semistable coherent sheaves on a Calabi-Yau 3-fold, and is one of important research subjects in enumerative geometry. On the other hand, the derived category of coherent sheaves is a tool in realizing several symmetries in mirror symmetry, birational geometry and geometric representation theory, or so on. Around 2008, the study of DT theory via wall-crossing in derived categories was much developed, and several important results on generating series of DT invariants were obtained. A recent important research subject is to introduce `categorical DT theory' which categorifies DT invariants, and establish categorical wall-crossing formula via categorical Hall algebras. In this lecture, toward the understanding of categorical DT theory, I will talk about basics on derived categories, matrix factorizations, geometric invariant theory, window theorem, wall-crossing in DT theory, stability condition, derived symplectic geometry, categorical Hall algebras, and then talk about recent progress of categorical DT theory.

到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))

（１）連接層の導来圏や行列因子化の定義や基礎事項を理解し、導来圏におけるHomの具体的な計算などができるようになる。
（２）幾何的不変式論の基礎事項を理解し、窓定理を用いてトーラス作用の異なるGIT商の間の導来同値などを証明できるようになる。
（３）Donaldson-Thomas不変量の基礎事項を理解し、定義や性質について説明できるようになる。
（４）圏論的Hall代数の定義を理解し、箙表現の場合に積構造を具体的に計算できるようにる。
（５）圏論的DT理論の考え方や動機について理解し、説明できるようになる。

到達目標　【英語】
Objectives of the Course

(1) We understand definitions and basics on derived categories of coherent sheaves and matrix factorizations, and can compute Hom spaces in derived categories explicitly.
(2) We understand basics on geometric invariant theory, and can prove derived equivalences for different GIT quotients of torus actions via window theorem.
(3) We understand basics on Donaldson-Thomas invariants, and can explain their definition and properties.
(4) We understand the definition of categorical Hall algebras, and can compute the product structure in the case of quiver representations explicitly.
(5) We understand the idea and motivation of categorical DT theory, and can explain them.

授業の内容や構成
Course Content / Plan

1. 連接層の導来圏と行列因子化
連接層の導来圏及び行列因子化の定義や基本的な性質について解説する。特に半直交分解や双有理変換の下での導来圏の振舞いについて解説する。
2. 幾何的不変式論と窓定理
幾何的不変式論の基礎事項について解説し、GIT商と導来圏を関連付ける窓定理について解説する。窓定理を用いて、異なるGIT商の間の導来同値を導く手法について解説する。
3. Donaldson-Thomas不変量と壁超え
Donaldson-Thomas不変量及び安定性条件の基礎事項について解説し、壁超え理論を用いてDT不変量の生成関数の種々の公式が導かれることを説明する。
4. 導来シンプレクティック幾何学とDT理論の洗練化　
(-1)-shifted symplectic 導来スキームについて解説し、DT理論のコホモロジー版であるコホモロジー的DT理論を導入する。応用としてGopakumar-Vafa不変量の数学的定式化について説明する。
5. 圏論的DT理論
ポテンシャル付き箙や局所代数曲面の場合にDT不変量を圏論化する「DT圏」を導入する。これらに作用する圏論的Hall代数について解説し、この作用を通じたDT圏の圏論的壁超え公式について説明する。

1. Derived category of coherent sheaves and matrix factorizations, I will explain definitions and basics on derived categories of coherent sheaves and matrix factorizations. In particular, I will explain semiorthogonal decompositions and behavior of derived categories under birational transformations.
2. Geometric invariant theory and window theorem, I will explain basics on geometric invariant theory and window theorem which relates GIT quotients and derived categories. I will explain the method of proving derived equivalences under variation of GIT quotients via window theorem.
3. Donaldson-Thomas invariants and wall-crossing, I will explain basis on Donaldson-Thomas invariants and stability conditions, and explain that several formulas of generating series of DT invariants are obtained via wall-crossing.
4. Derived symplectic geometry and refinement of DT theory, I will explain (-1)-shifted symplectic derived schemes, and introduce cohomological DT theory. As an application, I will explain mathematical definition of Gopakumar-Vafa invariants.
5. Categorical DT theory, I will introduce `DT category' in the case of quivers with potential and local surfaces. I will explain categorical Hall algebras which act them, and explain categorical wall-crossing formula through the above action.

履修条件
Course Prerequisites

履修条件は特にないが、代数幾何学及びホモロジー代数の基礎知識があると望ましい。

This course will be taught in Japanese.