学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate
多・博前
時間割コード
Registration Code
3211108
科目区分
Course Category
A類Ⅲ(集中講義)
Category A-3
科目名 【日本語】
Course Title
表現論特別講義Ⅱ
科目名 【英語】
Course Title
Special Course on Representation Theory Ⅱ
コースナンバリングコード
Course Numbering Code
担当教員 【日本語】
Instructor
神田 遼 ○
担当教員 【英語】
Instructor
KANDA Ryo ○
単位数
Credits
1
開講期・開講時間帯
Term / Day / Period
秋集中 その他 その他
Intensive(Fall) Other Other
授業形態
Course style

学科・専攻
Department / Program
多元数理科学研究科
必修・選択
Required / Selected
選択


授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN)
与えられた環に対して、その加群のなすアーベル圏を調べることは、環の表現論における基本的な問題意識である。この授業ではアーベル圏の構造を調べるためのいくつかの手法、特にアーベル圏のスペクトラムを用いた手法を修得することを目的とする。
授業の目的 【英語】
Goals of the Course
One of the fundamental problems in the representation theory of rings is to study the abelian category consisting of the modules over the ring. The aim of this course is to learn several methods to study the structure of abelian categories, especially the spectrum of an abelian category.
到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN))
・アーベル圏のスペクトラムの(1つの)定義と基本的な性質を理解すること。
・アーベル圏におけるいくつかの有限性条件を理解し、それを満たす典型例を挙げられること。
・部分圏や商圏の概念によって、環や加群に対するいくつかの概念がアーベル圏に一般化されることを理解すること。
到達目標 【英語】
Objectives of the Course
- To understand (one of) the definition(s) of the spectrum of an abelian category.
- To understand several finiteness conditions on an abelian category, and to be able to give typical examples satisfying those conditions.
- To understand how several notions on rings and modules can be generalized to abelian categories in terms of subcategories and quotient categories.
授業の内容や構成
Course Content / Plan
1. 大きい加群と小さい加群:可換環の素イデアルとGabrielスペクトラム
2. 加群のなす圏はどのような性質を持つか:アーベル圏、Grothendieck圏、有限性条件
3. 部分圏と商圏:Gabrielフィルターによる部分圏の分類、Gabriel-Popescuの埋め込み定理
4. 非可換環のスペクトラム:Reyesによるスペクトラムの非関手性定理
5. 片側スペクトラムと両側スペクトラムを繋ぐ橋:商環の存在定理のアーベル圏論的解釈

必ずしもこの順序で講義するわけではない。授業内容は聴衆からのフィードバック等に基づいて変更される可能性がある。

1. Big and small modules: prime ideals of commutative rings and Gabriel spectrum
2. What properties do module categories have: abelian categories, Grothendieck categories, and finiteness conditions
3. Subcategories and quotient categories: classification of subcategories via Gabriel filter and the Gabriel-Popescu embedding theorem
4. Spectra of noncommutative rings: the non-functoriality of spectrum due to Reyes
5. A bridge between the one-sided spectrum and the two-sided spectrum: abelian-categorical approach to the existence of quotient rings

Lectures will not necessarily be given in this order. The contents of lectures may be changed according to the feedback from the audience.
履修条件
Course Prerequisites
環上の加群に関する基本的な知識(加群の直和、射影加群と移入加群、半単純加群など)を仮定する。
Basic knowledge on modules over rings (such as the direct sum of modules, projective and injective modules, and semisimple modules) are assumed.

This course will be taught in Japanese.
関連する科目
Related Courses
なし
None
成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria
レポートによって評価する。アーベル圏に関する基本的な命題が証明できることを合格の基準とする。
The grade is based on paper(s). A student should be able to prove basic propositions on abelian categories to get credit(s).
教科書・テキスト
Textbook
なし
None
参考書
Reference Book
Nicolae Popescu, "Abelian Categories with Applications to Rings and Modules", Academic Press, 1973
Bo Stenström, "Rings of Quotients", Springer-Verlag, 1975
課外学習等(授業時間外学習の指示)
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours)
各回の授業内容を復習すること。
Review each lecture.
注意事項
Notice for Students
なし
None
他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance

Yes
他学科聴講の条件
Conditions of Other department student's attendance
なし
None
レベル
Level
1
キーワード
Keyword
アーベル圏、Grothendieck圏、環、加群、スキーム
Abelian categories; Grothendieck categories; ring; module; scheme
履修の際のアドバイス
Advice
授業中の質問を歓迎します。
Questions during lectures are welcome.
授業開講形態等
Lecture format, etc.
対面授業
In-Person Lectures
遠隔授業(オンデマンド型)で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class)
なし
None