学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate

多・博前

時間割コード
Registration Code

3211120

科目区分
Course Category

Ａ類Ⅲ（集中講義）
Category A-3

科目名　【日本語】
Course Title

解析学特別講義Ⅱ

科目名　【英語】
Course Title

Special Course on Analysis II

コースナンバリングコード
Course Numbering Code

担当教員　【日本語】
Instructor

肥田野　久二男 ○

担当教員　【英語】
Instructor

HIDANO Kunio ○

単位数
Credits

開講期・開講時間帯
Term / Day / Period

秋集中その他その他
Intensive(Fall) Other Other

授業形態
Course style

学科・専攻
Department / Program

多元数理科学研究科

必修・選択
Required / Selected

選択

授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)

波動方程式は弦、膜、弾性体の振動の現象の単純化モデルの役割を果たします。本授業では、小さくなめらかな初期値に対する非線形波動方程式のコーシー問題を扱います。時間大域解の存在のための２次の非線形項の形状に関する十分条件の研究の展開について解説します。そのための証明方法の工夫と進展にとくに重点を置きます。波動方程式の場合を手本にして、受講生が将来、自分自身のテーマを深める上で役立つような知見が得られます。

授業の目的　【英語】
Goals of the Course

The wave equation serves as a simplified model for string vibration, membrane vibration, and elastic solid vibration. The topic presented in this course concerns the Cauchy problem for nonlinear systems of wave equations with small and smooth data. The main results involve sufficient conditions on quadratic nonlinear temrs that the problem should admit global (in time) solutions. Attention is paid to advances in the way of getting such suffiient conditions. Those who participate in this course will get some insight and knowledge that will be helpful in developing thier research in the future.

到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))

授業終了時に以下のことが出来るようになることを目標とします。
（１）一般化されたエネルギーの方法が解の長時間存在を示すことに有効であることを理解できる。
（２）零条件の利点として、解の時間変数に関する減衰に得(gain of time decay)があることが挙げられる。その得を得る際に微分の損失(loss of derivatives)が起きてしまう。その損失を取り戻すための工夫を理解できる。
（３）上の方法は空間次元が2の場合に通用しない。それを克服するための新しい証明方法(ghost weight method)を理解できる。
（４）高次の項のもとでの安定性は決して容易な問題ではない。それを解くための工夫を理解できる。
（５）零条件よりも弱い条件の下で時間大域解を求めるための工夫を理解できる。

到達目標　【英語】
Objectives of the Course

Those who participate in this course will get the following knowlwdge:
(1)The generalized energy method is useful enough to show long-time existence of small solutions to nonlinear systems of wave equations.
(2)The null condition creats gain of time decay, at the cost of loss of derivatives. An idea of using the conformal energy has been devised to recover the loss of derivatives.
(3)The idea of using the conformal energy no loner works for the problem in two space dimensions. A new idea "ghost weight method" has been devised by Alinhac.
(4)The stability of zero solutions under the presence of higher-order terms such as u^3 is not at all a trivial problem. Some new linear estimates have been divised.
(5)A new research direction toward seeking for global solutions to some systems violating the null condition.

授業の内容や構成
Course Content / Plan

１．零条件と空間3次元半線形波動方程式系の初期値問題に対する時間大域解の存在。Klainermanの証明の振り返り。
２．Alinhacのghost weight methodによる新証明。
３．u^3のような高次の項のもとでの安定性の問題。Li-Yuの不等式の応用として。
４．零条件を満たさないような空間3次元半線形波動方程式系に対する初期値問題の時間大域解の存在。
５．u^3のような高次の項のもとでの４の問題の解の安定性。

1. Null condition and global existence of small solutions to 3-d semi-linear systems of wave equations. Review of the original proof due to Klainerman.
2. Ghost weight method of Alinhac and a new proof of the global existence result.
3. Stability problem under the higher-order perturbation such as u^3. Application of the Li-Yu inequality.
4, 5. Global existence of small solutions to a 3-d semi-linear system violating the null condition. Stability problem under the higher-order perturbation such as u^3.

履修条件
Course Prerequisites

履修条件はとくにはない。

This course will be taught in Japanese.