授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | | この講義の主たる目標は，多様体の概念の理解および多様体上での微分積分学の活用である．多様体は曲線や曲面の考え方を一般化した概念であり，数理学科で学んできた幾何学の集大成のようでもあるが，現代数学を深く学び研究するために欠かせない基礎知識の一つでもある．講義を通じて，多様体の幾何学の基礎知識と議論の進め方を身につけよう． |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | | The mainly purposes of this course are understanding the concept of manifolds and applications of calculus to manifolds. A manifold is an object given as generalization of a curve or a surface. Though manifold theory seems to be a goal of the geometry learned in undergraduate school, it is one of indispensable knowledge in modern mathematics. This course includes basic geometrical materials and typical arguments on manifolds. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | 多様体および多様体上の関数や写像，さらにこれらの微分可能性の概念がわかる．
多様体上の微分積分ができる．
多様体の幾何学の基礎知識と議論の進め方を身につける． |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | The goals of this course are to
- recognize major concepts in manifolds, functions or mappings on manifolds, and their differentiability,
- be able to perform differential and integral calculus on manifolds,
- acquire basic knowledge and how to proceed with discussions in the geometry of manifolds. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 多様体入門 (An introduction to manifolds)
1. 多様体 （座標近傍，球面，射影空間）
2. 関数，写像 （多様体の同値関係）
3. 接ベクトル空間と写像の微分
4. はめ込みと埋め込み，部分多様体 （正則点と臨界点）
5. ベクトル場，積分曲線 （1 パラメータ変換群）
6. 多様体上の微分形式と外微分 （ひき戻し）
7. 多様体の向きと積分 （ストークスの定理）
なお，この講義は日本語で行う．要望があれば板書のみ英語にする．
1. Manifolds (coordinate neighborhood, sphere, projective space)
2. Functions and maps of manifolds (diffeomorphism)
3. Tangent spaces and differential of mappings
4. Immersion, embedding, and submanifold (regular point, critical point)
5. Vector fields and integral curves (1-parameter transformation group)
6.Differential forms and exterior derivatives on manifolds (pull-back)
7. The orientations of manifolds and integrations (Stokes theorem)
This course is taught in Japanese. If requested, only the blackboard will be written in English. |
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履修条件
Course Prerequisites | | 微分積分学，線形代数学，位相空間論の基本的知識と学習法は身についているものとする．
曲線と曲面の幾何学，ベクトル解析（とくに陰関数定理），常微分方程式についても習得していることが望ましい．
Good understanding of calculus, linear algebra, and general topology is necessary.
Knowledge of geometry of curves and surfaces, vector analysis, and ordinary differential equations will be helpful. |
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関連する科目
Related Courses | | | 幾何学要論I,II，現代数学基礎AI,AII,BI,BII,CI,CII |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | 課題提出数回（再提出除く）を予定．
Grades will be based on written reports. |
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不可(F)と欠席(W)の基準
Criteria for "Fail (F)" & "Absent (W)" grades | | 課題提出が不足して成績評価が困難な場合は「W」とする．課題は全て提出しているが目標到達度が低い場合は「Ｆ」とする．
"W" means the existence of an unsubmitted report. "F" means an insufficient understanding. |
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参考書
Reference Book | | 松本幸夫「多様体の基礎」（東京大学出版会)
松島与三「多様体入門」（裳華房）
坪井俊「幾何学I 多様体入門」（東京大学出版会）
L.Tu, An Introduction to Manifolds, Springer （日本語版：枡田-阿部-堀口 訳「トゥー多様体」（裳華房））
F.Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer |
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教科書・テキスト
Textbook | | |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | 十分な復習が重要．
Sufficient review is important. |
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注意事項
Notice for Students | | 公休扱いになる教育実習などで欠席する場合は事前に必ずメールまたは文書で申し出ること．それによりレポート締切の延期が認められたり出題時期が変更されたりすることもある．研究集会参加による欠席も応相談．
Consult with instructor, before skipping classes because of conferences or workshops etc. |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions for Other department student's attendance | | | 上記履修条件を有しているか同等であることが確認できれば歓迎する． |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | 多様体，座標近傍，球面，射影空間，はめ込み，埋め込み，部分多様体，接ベクトル空間，微分写像，ベクトル場，積分曲線，多様体上の微分形式と外微分，微分形式の引き戻し，多様体の向きと微分形式の積分，ストークスの定理．
manifold, coordinate neighborhood, sphere, projective space, immersion, embedding, submanifold, tangent space, differential, vector field, integral curve, differential forms and exterior derivatives on manifolds, pull-back, orientation, integration, Stokes theorem. |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | 他大学では3 年生対象の科目にすることも多いほど卒業前の習得が強く望まれる知識の一つなので，進学の予定がない場合でも幾何学に興味がもてない場合でも，4 年生の積極的な参加を期待する． |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | | 原則として対面授業．稀にオンデマンド型遠隔授業となる可能性もある．その場合はTACTにて連絡する． |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | | 教師への質問は上記教員アドレス宛に直接メールすること．授業に関する受講学生間の意見交換は，TACT機能「フォーラム」により行うこと． |
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