授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | この授業は主に数理学科2年生を対象として複素関数論のより進んだ内容を扱います.
春学期の複素関数論の講義の続きとして位置づけられています.
ここで扱われる概念や手法および例は現代数学の様々な局面において基本的な役割を果たしていて,
それらを学ぶのがこの講義の目的です.
具体的には以下の内容を扱う予定です.
(1) 春学期の複素関数論の復習: 複素微分, 正則関数, 複素積分, Cauchyの積分定理
(2) Cauchy の積分公式とその応用
(3) 有理型関数, Laurent 展開, 留数定理
(4) 等角写像, Riemannの写像定理
(5) ガンマ関数, ゼータ関数, 楕円関数 |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | This is an advanced complex analysis course for the second year students,
which is a continuation of the complex analysis course of the spring term.
It aims at mastering well-known concepts, methods and examples of complex analysis,
which are fundamental to various branches of modern mathematics.
The main contents are
(1) Review of the spring semester: complex differentiation, holomorphic functions, complex integration, Cauchy's integral theorem
(2) Cauchy's integral formula and its application
(3) Meromorphic functions and residue theorem
(4) Conformal mappings and Riemann's mapping theorem
(5) Gamma function, Riemann's zeta function, elliptic functions |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | (a) Cauchyの積分公式，留数定理を用いて複素積分に関する計算が自在にできるようになること．
(b) 有理型関数や等角写像の概念を理解すること.
(c) ガンマ関数, ゼータ関数, 楕円関数といった重要な特殊関数に慣れ親しむこと. |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | At the end of the course , the participants are expected to
(a) obtain computation skills of complex integration by Cauchy's integral formula and the residue theorem
(b) understand the notion of meromorphic functions and conformal mappings
(c) be familiar with basic special complex functions, such as Gamma function, Riemann's zeta function, elliptic functions |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 以下の内容を予定している．概ね，各項目が各週の授業（講義＋演習）に対応する．
1. 復習 (複素微分と複素積分)
2, 冪級数と正則関数
3. Cauchyの積分定理1
4. Cauchyの積分定理2
5. 正則関数の性質
6. 有理型関数
7. 留数定理
8. 関数の大域的表示
9. 等角写像
10. Riemannの写像定理
11. ガンマ関数
12. ゼータ関数
13. 楕円関数
定期試験（中間試験・期末試験）を加えて15週の授業となる． |
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履修条件
Course Prerequisites | | | 2年生春学期までの全ての数学の講義，特に2年生春学期の「複素関数論」 |
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関連する科目
Related Courses | | | 2年生秋学期の「現代数学基礎 AⅡ」 (位相空間論)と数学演習V・VI |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | | 主に定期試験 (中間試験と期末試験) の結果に基づいて評価します. |
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不可(F)と欠席(W)の基準
Criteria for "Fail (F)" & "Absent (W)" grades | | | 定期試験を受けなければ履修取り下げとみなし，欠席とします． |
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参考書
Reference Book | | 主に講義の前半部分については
神保道夫，複素関数入門，岩波書店 (2003)．
川平友規，入門 複素関数，裳華房 (2019)．
定評のある教科書として
L. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill (1979);
日本語訳: アールフォルス著, 笠原乾吉訳, 複素解析, 現代数学社 (1982).
これ以外の参考書は必要に応じて，授業で紹介する． |
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教科書・テキスト
Textbook | | 授業の内容を全体的にカバーする教科書として
岸正倫，藤本坦孝 「複素関数論」 学術図書出版社 (1980)． |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | | TACT に講義ノートをアップロードするので，その内容を良く理解すること．さらに理解の確認のため，講義ノートにある練習問題を解いてみること． |
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注意事項
Notice for Students | | |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions for Other department student's attendance | | |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | | Cauchyの積分公式, 有理型関数, Laurent展開, 留数定理, 等角写像, Riemannの写像定理, ガンマ関数, ゼータ関数, 楕円関数 |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | Cauchyの積分定理や留数定理を用いた複素積分の具体的計算ができるように，講義ノートや教科書・参考書の演習問題を自分で計算してみることが重要です． |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | | 対面で授業を行う．毎週2コマの授業のうち，前半は講義中心，後半は演習中心の内容とする． |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | |
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