学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate

理学部

時間割コード
Registration Code

0619701

科目区分
Course Category

専門科目
Specialized Courses

科目名　【日本語】
Course Title

数理物理学特別講義Ⅰ

科目名　【英語】
Course Title

Special Course on Mathematical Physics Ⅰ

コースナンバリングコード
Course Numbering Code

担当教員　【日本語】
Instructor

高崎金久 ○

担当教員　【英語】
Instructor

TAKASAKI Kanehisa ○

単位数
Credits

開講期・開講時間帯
Term / Day / Period

秋集中その他その他
Intensive(Fall) Other Other

授業形態
Course style

講義
Lecture

学科・専攻
Department / Program

数理学科

必修・選択
Compulsory / Selected

選択

授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)

グラスマン多様体は19世紀の射影幾何学の研究の中から生まれた多様体であり、その後の代数幾何学や対称空間論の発展においてさまざまな概念---射影的埋め込み、リー群の作用、胞体分割、特性類など---の原型となる役割を果たした。1970年代以降は、ツイスター理論、場の理論、可積分系など数学と数理物理学の分野において新たな応用が見出されている。この講義ではグラスマン多様体の基本的性質を解説し、いくつかの応用を紹介する。また、グラスマン多様体と密接に関連する旗多様体の概念も併せて説明する。

授業の目的　【英語】
Goals of the Course

Born in the studies of projective geometry in the 19th century, the Grassmann manifolds played the role of prototypes of various notions ---projective embedding, Lie group action, cellular decomposition, characteristic class, etc. --- in the subsequent progess of algebraic geometry and geometry of symmetric spaces. After the 1970's, a number of new applications were found in areas of mathematics and mathematical physics such as twistor theory, hypergeometric functions and integrable systems. This lecture is an introduction to the fundamential properties of the Grassmann manifolds alongside some applications. The notion of flag manifolds, closely related to the Grassmann manifolds, is also explained.

到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))

受講者は以下のようなことができるようになることをめざします。
1. 枠行列を用いてグラスマン多様体の点を表す。アフィン座標やプリュッカー座標を用いて多様体構造を記述する。旗多様体も同様に捉える。
2. グラスマン多様体と完全旗多様体のシューベルト胞体を簡単な場合に求める。マヤ図形・ヤング図形・マトロイドの使い方を学ぶ。
3. ツイスター理論によって自由スピノル場を積分表示する。また、古典的超幾何関数の積分表示を枠行列の言葉に翻訳する。
4. 一般化バーガース階層の解法を理解する。τ関数とそのシューア関数展開を簡単な場合に求める。

到達目標　【英語】
Objectives of the Course

The course students are asked to achieve the following goal.
1. To represent a point of the Grassmann manifold by the frame matrix. To use the affine and Plucker coordinates to describe the manifold structure. To capture the flag manifolds in a siminar way.
2. To obtain the Schubert cells of the Grasmann and flag manifolds in a simple case. To learn how to use Maya diagrams, Young diagrams and matroids．　
3. To obtain the contour integral formula of free spinor fields. To translate an integral formula of the classical hypergeometric functions to the language of the frame matrix.
4. To understand how to solve the generalized Burgers hierarchy. To find the tau function and its Schur function expansion in a simple case.

授業の内容や構成
Course Content / Plan

講義の構成は以下の通りです。
1. グラスマン多様体と旗多様体：枠行列、開被覆、アフィン座標、プリュッカー座標、プリュッカー関係式
2. グラスマン多様体のシューベルト胞体：マヤ図形とヤング図形、枠行列による胞体の定義、胞体の（余）次元、群軌道としての見方
3. 完全旗多様体のシューベルト胞体：枠行列による胞体の定義、胞体の（余）次元、群軌道としての見方、一般線形群のブリュア分解
4. ツイスター理論と超幾何関数への応用：ツイスター理論、自由スピノル場の積分表示、超幾何関数の積分表示、点の配置空間
5. 可積分系への応用：リッカチ方程式、バーガース方程式、一般化バーガース階層、KP階層、グラスマン多様体上の力学系、τ関数のシューア関数展開

The lectures are organized as follows.
1. Grassmann and flag manifolds: frame matrix, open covering, affine coordinates, Plucker coordinates, Plucker relations
2. Scubert cells of Grassmann manifolds: Maya and Young diagrams, definition of cells by frame matrices, (co)dimensions of cells, cells as group orbits
3. Scubert cells of flag manifolds: definition of cells by frame matrices, (co)dimensions of cells, cells as group orbits, Bruhat decompostion of general linear group
4. Application to twistor theory and hypergeometric functions: twistor theory, integral formula of free spinor fields, integral formula of classical hypergeometric functions, configuration space of points
5. Application to integrable systems: Riccati equation, Burgers equation, generalized Burgers hierarchy, KP hierarchy, dynamical system on Grassmann manifoild, Schur function expansion of tau function

履修条件
Course Prerequisites

微分積分、線形代数、複素解析を履修していることを仮定します。位相空間や多様体の概念の初歩を履修していることが望ましいが、未履修でも受講可能です。講義は日本語で行いますので、日本語による説明を理解できる必要があります。

This course will be taught in Japanese.