授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | | 適用範囲の広い数学である集合論・圏論・トポロジー・微分幾何の基礎を修得する。とくに今年度の試みとして、圏論の解説に力を入れる。 |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | | Grasping basic ideas of set theory, category theory, topology, and differential geometry. In this year, category theory is emaphasized. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN) | | |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | | To Understand definitions of basic notions and structure of category theory. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 圏論とは、関係の数学と言ってもよい数学分野である。大小関係・前後関係・演算関係・遠近関係・親子関係・命令関係など組織だった関係で結ばれたネットワークは圏をなす。圏は一つではなく、圏と圏を関係づける関手というものがある。さらに、関手と関手を関係づける自然変換というものがある。こういった圏の外の高次の関係性も圏論は扱うし、圏の内部の関係性を特徴づける構造もある。圏を外から見るズームアウトの視点と、圏の中身を覗き見るズームインの視点の両方を縦横無尽に扱えるようになることがこの講義の目的であり、教えたい内容である。以下のような項目を想定しているが、必ずしもこの順番どおりに教えるとは限らないし、すべての項目を教えるとは限らない。講義は日本語で行う。
1. 圏論の三種の矢：射・関手・自然変換
2. 圏の例（集合圏、部分集合の圏、ベクトル空間の圏など）
3. 集合論と圏論の違い（モニック射・エピ射を例に）
4. ホモトピー関手
5. 圏の中の構造（積・余積・極限・余極限）と普遍性
6. 米田の補題
7. 随伴と双対性
8. 応用（圏論的量子力学・トポス・プログラミング言語など） | | Category theory can be described as a field of mathematics concerned with the relations. Networks connected with organized relationships such as greater-than/less-than relations, before-and-after relations, operational relations, proximity relations, parent-child relations, and order-obeying relations form categories. There is not just one category, but there are also functors that relate categories to each other. Furthermore, there are natural transformations that relate functors to each other. Category theory deals with such higher-order relationships outside of categories and also has structures that characterize the internal relationships of categories. The aim of this lecture is to make adept at handling both the zoom-out perspective that views categories from the outside and the zoom-in perspective that peeks into the contents of categories, and this is the content I want to teach. The following items are anticipated, but it is not necessarily the case that they will be taught in this order, nor is it certain that all items will be covered. The lectures ar given in Japanese. |
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履修条件・関連する科目
Course Prerequisites and Related Courses | | | 集合論や論理の基本を知っていることが望ましい。 | | It is desirable to have a basic knowledge of set theory and logic. |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | | 課題レポートによって講義の理解度を評価し，100点満点で採点し，合計60点以上を合格とする。 | | Evaluating homeworks |
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教科書・参考書
Textbook/Reference book | | ・谷村省吾「物理学者のための圏論入門」（PDFファイルノート）
https://nagoya.repo.nii.ac.jp/record/30360/files/tanimura-category.pdf
・谷村省吾「トポロジー・圏論・微分幾何―双対性の視点から」（電子版，サイエンス社）
https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-9901-2&y=2013
・谷村省吾「幾何学から物理学へ―物理を圏論・微分幾何の言葉で語ろう」（電子版，サイエンス社）
https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-9980-7&y=2020
・レンスター「ベーシック圏論」（丸善出版）
https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b295027.html
T. Leinster, "Basic Category Theory", Cambridge University Press
https://www.cambridge.org/core/books/basic-category-theory/A72533879BBC7BD956CC415777B7DA99
・E. Riehl, "Category Theory in Context", Dover
https://store.doverpublications.com/products/9780486809038 | |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | | 演習問題をレポート課題として数回出題する。 | | Homeworks are requested several times. |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | 今年度は遠隔授業を行う予定はないが、過去の講義ビデオをアーカイブしてあるので適宜視聴してよい。
ただし、講義ビデオの内容は今年度実施する講義の内容とだいぶ異なっている：
https://nuss.nagoya-u.ac.jp/s/YSyHpeCRXZda4sR |
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