学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate

多・博前

時間割コード
Registration Code

3211107

科目区分
Course Category

Ａ類Ⅲ（集中講義）
Category A-3

科目名　【日本語】
Course Title

表現論特別講義Ⅰ

科目名　【英語】
Course Title

Special Course on Representation Theory Ⅰ

コースナンバリングコード
Course Numbering Code

担当教員　【日本語】
Instructor

内藤聡 ○

担当教員　【英語】
Instructor

NAITO Satoshi ○

単位数
Credits

開講期・開講時間帯
Term / Day / Period

秋集中その他その他
Intensive(Fall) Other Other

授業形態
Course style

学科・専攻
Department / Program

多元数理科学研究科

必修・選択
Required / Selected

選択

授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)

本授業では、アフィン・リー環や、その量子変形であるアフィン量子群の組合せ論的表現論において重要な役割を果たす Lakshmibai-Seshadri (LS) パス、量子 LS パス、半無限 LS パスに関する基本的な事項を扱う。さらに、アフィン量子群上の (レベル・ゼロ) extremal ウエイト加群の結晶基底の、半無限 LS パスによる組合せ論的実現について学ぶ。

授業の目的　【英語】
Goals of the Course

In this course, we deal with Lakshmibai-Seshadri (LS for short) paths, quantum LS paths, and semi-infinite LS paths, which play important roles in combinatorial representation theory of affine Lie algebras and quantum affine algebras. Also, we explain how semi-infinite LS paths give an explicit combinatorial realization of the crystal basis of a (level-zero) extremal weight module over a quantum affine algebra.

到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))

授業終了時に、以下のことができるようになる事を目標とする。
(1) LS パス、量子 LS パス、半無限 LS パスの定義と、それらの間の関係を理解し、各々の具体例を挙げることができる。
(2) LS パス、量子 LS パス、半無限 LS パス上の root 作用素の定義とその基本的性質を理解し、それらを明示的に計算することができる。
(3) アフィン量子群上の (レベル・ゼロ) extremal ウエイト加群の結晶基底が、半無限 LS パスによって組合せ論的に実現されることを理解し、その具体例を挙げることができる。　　　　　　　　　　　　　　　　　

到達目標　【英語】
Objectives of the Course

Students will be able to do the following.
(1) Students understand the definitions of LS paths, quantum LS paths, and semi-infinite LS paths, and the relationship among these. Also, students can give explicit examples of the three kinds of LS paths.
(2) Students understand the definitions and some basic properties of root operators on LS paths, quantum LS paths, and semi-infinite LS paths. Also, students can compute explicitly the actions of root operators on the three kinds of LS paths.
(3) Students understand how semi-infinite LS paths give an explicit combinatorial realization of the crystal basis of a (level-zero) extremal weight module over a quantum affine algebra, and can give some examples.

授業の内容や構成
Course Content / Plan

本授業は、以下の内容で構成されている。
(1) Bruhat グラフ、(有限ワイル群上の) 量子 Bruhat グラフ、(アフィン・ワイル群上の) 半無限 Bruhat グラフの定義と、それらの具体例
(2) Weyl 群上の Bruhat 順序、アフィン・ワイル群上の半無限 Bruhat 順序の定義
(3) LS パス、量子 LS パス、半無限 LS パスの定義と、それらの具体例
(4) (レベル・ゼロ) LS パス、量子 LS パス、半無限 LS パスの間の関係
(5) LS パス、量子 LS パス、半無限 LS パス上の root 作用素の定義とその基本的性質
(6) LS パス、量子 LS パス、半無限 LS パス上の root 作用素の明示的な記述
(7) アフィン量子群上の (レベル・ゼロ) extremal ウエイト加群の結晶基底と、半無限 LS パス

This course is organized as follows.
(1) Definitions and examples of the Bruhat graph, quantum Bruhat graph (on a finite Weyl group), and semi-infinite Bruhat graph (on an affine Weyl group)
(2) Definitions of the Bruhat order on a Weyl group and semi-infinite Bruhat order on an affine Weyl group
(3) Definitions and examples of LS paths, quantum LS paths, and semi-infinite LS paths
(4) The relationship among (leval-zero) LS paths, quantum LS paths, and semi-infinite LS paths
(5) Definitions and some basic properties of root operators on LS paths, quantum LS paths, and semi-infinite LS paths
(6) Explicit descriptions of root operators on LS paths, quantum LS paths, and semi-infinite LS paths
(7) Crystal bases of (level-zero) extremal weight modules over quantum affine algebras and semi-infinite LS paths

履修条件
Course Prerequisites

線形代数学の全般的な知識、群論・環論の基礎的な知識を前提とする。

This course will be taught in Japanese.