学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate
多・博前
時間割コード
Registration Code
3211121
科目区分
Course Category
A類Ⅲ(集中講義)
Category A-3
科目名 【日本語】
Course Title
解析学特別講義Ⅲ
科目名 【英語】
Course Title
Special Course on Analysis Ⅲ
コースナンバリングコード
Course Numbering Code
担当教員 【日本語】
Instructor
JUNK Stefan Florian ○
担当教員 【英語】
Instructor
JUNK Stefan Florian ○
単位数
Credits
1
開講期・開講時間帯
Term / Day / Period
春集中 その他 その他
Intensive(Spring) Other Other
授業形態
Course style

学科・専攻
Department / Program
多元数理科学研究科
必修・選択
Required / Selected
選択


授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN)
多くの応用では、多数の入力変数を持つ関数 f(x_1,...,x_n) を計算したいが、各入力変数には(例えば測定誤差による)不確実性がある。それでも、f(x_1,...,x_n)が「真の値」に近い確率が非常に高いことはよくあります。 このコースの目的は、なぜこのような現象が起こるのかを解明することである。
授業の目的 【英語】
Goals of the Course
In many situations, we encounter the problem of estimating, for large n, a quantity of the form f(x_1,...,x_n) where the input variables x_1,...,x_n come with some uncertainty, for example from measurement errors. Nevertheless, it is often the case that f(x_1,...,x_n) is close to the "true" value with very high probability. The aim of this course is to understand this phenomenon in a mathematically rigorous way.
到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN))
このコースでは、学生はどのような条件で確率変数がその平均値の近くに集中するかを理解する。平均からある一定量ずれる確率の見積もりを知る。重要な結果は、数学の多くの分野で応用されている、いわゆる「method of bounded differences」である。
到達目標 【英語】
Objectives of the Course
By the end of the course, students should understand under which conditions a random quantity is concentrated around its mean. They will learn relatively simple bounds for the probability of deviating from the mean by a given amount. A key result is the so-called “method of bounded differences”, which has applications in many areas of mathematics.
授業の内容や構成
Course Content / Plan
1) Introduction and motivating examples from random networks, graph coloring and machine learning.
2) Concentration for sums of independent and identically distributed (i.i.d.) random variables. We review useful inequalities and students learn how to apply the Chernoff bound, the best concentration one can hope for in general.
3) Martingale-based methods. Students learn how the results for sums of i.i.d. random variables can be generalized to “smooth” objective functions where no component has too much “influence”.
4) Outlook. We discuss a phenomenon of “superconcentration”, which occurs when the objective function is much more tightly concentrated than what could be expected from the i.i.d. case.

1) 導入と例題(ランダムネットワーク,グラフ彩色,機械学習).
2) 独立同分布の確率変数の和について:有用な不等式を復習し、Chernoff boundを導出する。一般にこの結果は最高の集中不等式である。
3) マルチンゲールに基づく方法:独立同分布の確率変数の和に対する結果を一般化する。目標関数が「滑らか」であり、すべての入力変数が「影響力」が小さいことを条件とする。
4) 展望。目的関数が独立同次分布の場合よりもはるかに強く集中することを意味する「superconcentration」という現象について説明する。
履修条件
Course Prerequisites
Knowledge of measure-theoretic probability theory (random variables, expectation, independence,…) are required. Experience with martingale theory is definitely helpful, but not strictly necessary.

この講義は英語で行います。
This course will be taught in English.
関連する科目
Related Courses
Probability Theory Ⅰ
成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria
Several exercise problems will be given in class. Students can submit written solutions and receive credit if they solve at least half of them correctly.
教科書・テキスト
Textbook
参考書
Reference Book
Boucheron, Lugosi, Massart: Concentration inequalities, A nonasymptotic theory of independence
Ledoux: The Concentration of Measure Phenomenon
課外学習等(授業時間外学習の指示)
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours)
注意事項
Notice for Students
他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance
他学科聴講の条件
Conditions of Other department student's attendance
レベル
Level
1
キーワード
Keyword
履修の際のアドバイス
Advice
授業開講形態等
Lecture format, etc.
In-person
遠隔授業(オンデマンド型)で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class)