学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate

多・博前

時間割コード
Registration Code

3211125

科目区分
Course Category

Ａ類Ⅲ（集中講義）
Category A-3

科目名　【日本語】
Course Title

偏微分方程式特別講義Ⅰ

科目名　【英語】
Course Title

Special Course on Partial Differential Equations Ⅰ

コースナンバリングコード
Course Numbering Code

担当教員　【日本語】
Instructor

前川泰則 ○

担当教員　【英語】
Instructor

MAEKAWA Yasunori ○

単位数
Credits

開講期・開講時間帯
Term / Day / Period

春集中その他その他
Intensive(Spring) Other Other

授業形態
Course style

学科・専攻
Department / Program

多元数理科学研究科

必修・選択
Required / Selected

選択

授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)

流体力学における基礎方程式である非圧縮性ナヴィエ・ストークス方程式を粘着境界条件下で考察する。流体の粘性が非常に小さい場合における固体壁近傍での解の漸近挙動を調べることは、理論的にも応用上も重要である。この授業では、その基礎となるプラントル境界層展開に対する数学理論の概要を学ぶことを目的とする。

授業の目的　【英語】
Goals of the Course

The incompressible Navier-Stokes equations, which is a fundamental nonlinear PDE system in fluid dynamics, are considered under the noslip boundary conditions. Investigating the asymptotic behavior of the solution around the solid wall in the vanishing viscosity limit is important both theoretically and in application. The purpose of this course is to learn the mathematical theory of Prandtl's boundary layer expansion.

到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))

・形式的なプラントル境界層展開の考え方を理解し、その数学的な解析手法が身につく。
・シアー型境界層周りにおける高周波不安定性について理解し、ジュブレー型の関数空間におけるプラントル境界層展開の解析手法が身につく。
・レゾルベント問題の解析により線形化半群の評価を導出する手法が身につく。

到達目標　【英語】
Objectives of the Course

・To understand the basis of formal Prandtl boundary layer theory and to acquire the skills of its mathematical analysis.
・To understand the high-frequency instabilities around the shear boundary layer and to acquire the analytical skills for the Prandtl boundary layer expansion in a function space of Gevrey type.
・To learn how to derive the estimates of the linearized semigroup by analyzing the resolvent problem.

授業の内容や構成
Course Content / Plan

１．プラントル境界層展開の基礎理論
2次元半空間における非圧縮性粘性流体に対するナヴィエ・ストークス方程式を考察し、粘性零極限における形式的なプラントル境界層展開について概説する。

２．シアー型境界層周りにおける線形化問題
（１）シアー型境界層周りにおけるナヴィエ・ストークス方程式の線形化問題を考察し、高レイノルズ数流体において現れる高周波不安定性について概説する。
（２）凸シアー型境界層周りにおけるナヴィエ・ストークス方程式の線形化問題に付随するレゾルベント問題を考察し、ジュブレー3/2型の関数空間における線形化半群の評価を確立する。

３．凸シアー型境界層周りでのプラントル境界層展開
凸シアー型境界層回りにおいて、粘性零極限におけるプラントル境界層展開をジュブレー3/2型の関数空間において確立する。

授業中に適宜レポート課題を課します。

１．Basic theory of the Prandtl boundary layer expansion
The Navier-Stokes equations for viscous incompressible flows are considered in the two-dimensional half space under the noslip boundary condition, and the formal Prandtl boundary layer expansion in the vanishing viscosity limit is explained.

２．Linearized problem around shear boundary layers
(1) The linearized problem of the Navier-Stokes equations around the shear boundary layer is discussed,
and the high-frequency instabilities that appear in the high Reynolds number regime are explained.
(2) The resolvent problem associated with the linearized problem of the Navier-Stokes equations around the concave shear boundary layer is discussed, and the linearized semigroup is studied in a function space of the Gevrey 3/2 type.

３．The Prandtl boundary layer expansion around the concave shear boundary layer
The Prandtl boundary layer expansion for the Navier-Stokes equations is studied around the concave shear boundary layer in a function space of the Gevrey 3/2 type.

Several report assignments will be assigned in the course.

履修条件
Course Prerequisites

特にないが、ルベーグ積分論、フーリエ解析学および関数解析学の基礎事項を前提知識として授業を行う。

This course will be taught in Japanese.