授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | 多重ゼータ値（Multiple Zeta Values）は、数学や理論物理学のさまざまな分野に現れる実数です。特に日本では、多重ゼータ値の理論は非常に活発な研究分野となっています。一方、モジュラー形式（Modular Forms）は、上半平面上で特定の対称性を満たす正則関数です。これらの関数は、数学の多くの分野で生じる問題と自然に結びついています。
本講義の目的は、多重ゼータ値の理論とモジュラー形式との関係についての入門的な解説を行うことです。また、多重ゼータ値の変種である有限多重ゼータ値（Finite Multiple Zeta Values）も紹介し、それが金子–Zagier予想（Kaneko-Zagier Conjecture）を通じて古典的な多重ゼータ値と驚くべき関係を持つ可能性について議論します。
この講義は英語で行われますが、日本人学生にとって英語力を向上させる良い機会となるでしょう。
講義に関するすべての情報は、定期的に更新される講義ホームページに掲載されます：
https://www.henrikbachmann.com/mzv2025.html |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | Multiple zeta values are real numbers that appear in various areas of mathematics and theoretical physics. In particular, the theory of multiple zeta values is a highly active research field in Japan. On the other hand, modular forms are holomorphic functions on the upper half-plane that satisfy certain symmetry properties. These functions naturally arise in connection with problems in many branches of mathematics.
The goal of this lecture is to provide an introduction to the theory of multiple zeta values and their connections to modular forms. We will also explore variants of multiple zeta values, known as finite multiple zeta values, which appear to have a surprising connection to classical multiple zeta values through the Kaneko-Zagier conjecture.
All course information will be available on the regularly updated course homepage:
https://www.henrikbachmann.com/mzv2025.html |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | | 本講義の目的は、最新の研究テーマに密接に関連する多重ゼータ値の理論についての入門的な解説を行うことです。その過程で、ホップ代数（Hopf Algebras）や準シャッフル代数（Quasi-Shuffle Algebras）などのさまざまな代数的構造も紹介します。さらに、本分野における未解決問題についても議論し、修士論文や博士論文の研究テーマとして取り組む可能性のある課題を提示します。 |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | | The goal of this lecture is to provide an introduction to the theory of multiple zeta values, a topic closely related to current research. Along the way, we will introduce various algebraic structures, such as Hopf algebras and quasi-shuffle algebras. Additionally, we will discuss open problems in the field, which may serve as potential topics for master's or PhD research projects. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 詳細は講義ホームページをご参照ください。
We will begin with a standard introduction to the theory of multiple zeta values. Following this, we will explore their algebraic structure, with a particular focus on their linear relations.
In the second part of the course, we will examine various connections between multiple zeta values and the theory of modular forms. For more details, please refer to the course homepage.
Key Topics:
The Riemann zeta function and its special values
Multiple zeta values and their algebraic structure (harmonic & shuffle product)
Regularization of multiple zeta values
(Extended) Double shuffle relations
Families of linear relations among multiple zeta values
Finite & symmetric multiple zeta values
Modular forms and their period polynomials
Connections between modular forms and multiple zeta values |
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履修条件
Course Prerequisites | | 受講者は、学部レベルの線形代数および解析学の基礎知識を持っていることが望まれます。また、一部の内容では複素解析の知識が役立ちますが、必須ではありません。
Students are expected to have completed standard undergraduate courses in linear algebra and calculus. While some familiarity with complex analysis may be helpful at certain points, it is not a mandatory prerequisite. |
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関連する科目
Related Courses | | 学期中に、私のセミナーで多重ゼータ値に関する研究講演が行われることがあります。本講義の受講者も参加可能です。講演がある場合は、講義中にお知らせします。
During the semester, there may be research talks in my seminar on multiple zeta values. Students in this course are welcome to attend. I will announce these seminars during the lectures. |
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「履修取り下げ届」提出の要・不要
Necessity / Unnecessity to submit "Course Withdrawal Request Form" | | 本講義の履修を取り下げたい場合は、学期中に私までご連絡ください。
If you want to withdraw from the course, please contact me during the semester. |
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履修取り下げの条件等
Conditions for Course Withdrawal | | |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | 成績は宿題の提出に基づいて評価されます。
※ 宿題は日本語で提出することも可能です。
The grading will be based on homework assignments. |
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不可(F)と欠席(W)の基準
Criteria for "Fail (F)" & "Absent (W)" grades | | 宿題で十分な点数を得られない場合や、授業を頻繁に欠席する場合は、単位取得が難しくなる可能性があります。
Not gaining enough points on the homework or being absent from class too often. |
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参考書
Reference Book | | 講義ホームページに、定期的に更新される参考文献リストを掲載します。
There will be a regularly updated list of references available on the course homepage. |
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教科書・テキスト
Textbook | | 本講義では特定の教科書は使用せず、いくつかの研究論文をもとに進めます。講義中に講義ノートを作成・提供し、また講義の初めに参考文献を紹介します。
We will not use a textbook; instead, the course will be structured based on several research papers. Lecture notes will be created and provided during the course, along with various references at the beginning of the lecture series. |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | 受講者は、宿題を解く際に講義内容を振り返り、講義ノートを参照することが求められます。
Students are expected to review the lectures and refer to the lecture notes while solving the homework assignments. |
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注意事項
Notice for Students | | 本講義に関するすべての情報は、講義ホームページで確認できます：
All information on this course will be available on the course homepage: https://www.henrikbachmann.com/mzv2025.html |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions for Other department student's attendance | | |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | | Riemann zeta value, multiple zeta values, iterated integrals, Polylogarithm, double shuffle relations, Hopf algebras, quasi-shuffle algebras, modular forms, (multiple-)eisenstein series, period polynomials, finite multiple zeta values |
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履修の際のアドバイス
Advice | | |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | | Face-to-Face in the classroom |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | |
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