授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | | この講義の主たる目的は，多様体とは何かその基本的な考え方を理解すること，および多様体上で微分積分学を自由に運用できるようになることである．多様体は曲線や曲面の考え方を一般化した空間概念であり(Riemannによる)，数理学科で学んできた幾何学の一つの到達地点でありかつ現代数学の出発点でもある．現代数学を学び研究するために欠かせない基礎知識の一つである．講義を通じて，多様体の幾何学の基礎知識と議論の進め方を身につけよう． |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | | The mainly purposes of this course are to understand the basic idea of manifolds and to be able to use calculus on manifolds. A manifold is a concept of space introduced by Riemann, which generalizes a curve and a surface. Manifold theory can be regarded as a goal of geometry in undergraduate course, and also a starting point in modern mathematics. It is one of indispensable knowledge in modern mathematics. This course includes basic geometrical materials and typical arguments on manifolds. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | 多様体および多様体上の関数や写像，さらにこれらの微分可能性の概念がわかる．
多様体上の微分積分ができる．
多様体の幾何学の基礎知識と議論の進め方を身につける． |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | The goals of this course are to
- understand major concepts in manifold theory, functions or mappings on manifolds, and their differentiability,
- be able to use differential and integral calculus on manifolds,
- acquire basic knowledge and how to proceed with discussions in the geometry of manifolds. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 多様体入門 (An introduction to manifolds)
(1) 曲線曲面の復習. 陰関数定理の復習.
(2) 多様体とは.
(3) 多様体上の微分. 接ベクトル空間, ベクトル場. 多様体上の関数や写像の微分.
(4) 微分形式. どうして微分形式が必要か. 微分形式の性質.
(5) 微分形式の積分, Stokesの定理.
この講義は日本語で行われる．要望があれば板書を英語にすることは可能．
(1) Review on curves/surfaces, and implicit function theorem.
(2) What is a manifold?
(3) Differential on manifolds, tangent spaces, vector fields. Differentials of functions and mappings.
(4) Differential forms and their properties.
(5) Integrations on manifolds and Stokes' theorem.
This course is given in Japanese. If requested, the blackboard will be written in English. |
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履修条件
Course Prerequisites | | 微分積分学(2年後期多変数微積分，特に陰関数定理も含む)，線形代数学，位相空間論を習得していることは必須.怪しい人はしっかり復習しておくこと．
曲線と曲面の幾何学，ベクトル解析，常微分方程式についても習得していることが望ましい．
Good understanding of calculus (including implicit function theorem), linear algebra, and general topology is necessary.
Knowledge of geometry of curves and surfaces, vector analysis, and ordinary differential equations will be helpful. |
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関連する科目
Related Courses | | | 幾何学要論I,II，現代数学基礎AI,AII,BI,BII,CI,CII |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | 期末試験の結果を主とする．学期中に小テストを行い，あるいはレポートを課した場合は，これらの結果を加味して総合的に評価する．
Grades will be based on final exam. If quizzes or reports are given during the course, these results will be taken into account in the overall evaluation. |
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教科書・テキスト
Textbook | | 指定しない．
Textbooks not specified |
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参考書
Reference Book | | 例えば，
(1) 松本幸夫「多様体の基礎」（東京大学出版会) (基本的なことがこれでもかというくらい丁寧に書かれている.)
(2) 服部晶夫, 「多様体」（岩波全書）（ベクトルバンドルも積極的に活用して多様体をより現代的な言葉で透明に理解することができる.）
(3) 松島与三「多様体入門」（裳華房）（昔からの定番の教科書. ）
他いろいろある．自分にあったものをどうぞ． |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | 十分な復習が重要．講義内容を各自再構成し，講義内で省略された議論や計算を補うこと．具体例も考えて見ること．
Sufficient review is important. Reconstruct the lecture content on your own and make up for any discussions or calculations that were omitted in the lecture. Also, think of concrete examples. |
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注意事項
Notice for Students | | |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | | 受講者数が許す限り歓迎しますが, 講義はあくまで数理学科3年後期までの内容をある程度習得していることを前提とします．担当者に連絡すること． |
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他学科聴講の条件
Conditions of Other department student's attendance | | | 上記履修条件を有しているか同等であることが確認できれば歓迎します． |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | 多様体，座標近傍，球面，射影空間，はめ込み，埋め込み，部分多様体，接ベクトル空間，微分写像，ベクトル場，積分曲線，多様体上の微分形式と外微分，微分形式の引き戻し，多様体の向きと微分形式の積分，ストークスの定理．
manifold, coordinate neighborhood, sphere, projective space, immersion, embedding, submanifold, tangent space, differential, vector field, integral curve, differential forms and exterior derivatives on manifolds, pull-back, orientation, integration, Stokes theorem. |
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履修の際のアドバイス
Advice | | 遅刻厳禁. 講議でできる内容は非常に限られています. 自分でも上に挙げた参考書などでどんどん勉強して下さい.
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | | 原則として対面授業．稀にオンデマンド型遠隔授業となる可能性もある．その場合はTACTにて連絡する． |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | |
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