授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | | 本講義では、代数多様体の特異点のうち、有限群による商によってできる商特異点について、その特異点解消の構成と、有限群と特異点解消の間に現れるマッカイ対応について述べる予定である。古典的な結果から、最近研究されていることにも触れたい。 |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | | In this lecture, we will discuss quotient singularities, which are given as quotients of algebraic varieties by finite groups. We will focus on the resolution of these singularities and the McKay correspondence, which gives a relation between finite groups and the resolution process. The lecture will cover both classical results and recent developments in this area of research. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | | 代数多様体の特異点などの定義、低次元の特異点の例を通して、その特異点解消やマッカイ対応についても手を動かして理解すること。また、高次元の場合に関しては、いろいろな数学が関わってくるので、完全に理解することよりも、いろんな数学が関わる研究があることを知り、興味の範囲を広げるきっかけになればよい。 |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | | Through definitions of singularities of algebraic varieties and examples of low-dimensional singularities, we will develop an understanding of their resolutions and the McKay correspondence by working through concrete computations. For higher-dimensional cases, since various areas of mathematics come into play, the goal is not to achieve complete understanding but rather to gain an appreciation of the diverse mathematical connections involved and to broaden the scope of interest in this field. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 本講義では、2次元の有理二重点が有限群Gによる商特異点であり、その極小特異点解消が有限群Gの表現と対応するというマッカイ対応について紹介し、さらにその一般化についても触れたい。特に3次元版のマッカイ対応を考える際に有効なG -ヒルベルトスキームについても具体例に触れながら解説したい。
1） 特異点解消とマッカイ対応に関する概説：ここでは細かい定義はせずに、本講義で取り扱う内容の概要と、最近の研究についてお話ししたい。
２） 有限群とその表現、マッカイの発見：SL(2,C)の有限部分群Ｇの分類、有限群の表現と指標表について講義した後、群Ｇからディンキン図形が得られるマッカイの発見について述べる。
３） 代数多様体の特異点と特異点解消：代数多様体の例をいくつか紹介し、特異点や特異点解消を定義し、その具体例について触れる。2次元の古典的なマッカイ対応について解説する。
４） 3次元の特異点と特異点解消：3次元でも同じように商特異点を作ることはできるが、特異点の様子は2次元の場合よりも複雑になる。その特異点解消について解説する。
5） 3次元のマッカイ対応とＧ－ヒルベルトスキーム：2次元のマッカイ対応の3次元への拡張として、これまでに得られている研究や、特異点解消を構成する別の方法として得られたＧーヒルベルトスキームを紹介する。
６） 高次元の特異点解消やマッカイ対応：マッカイ対応の高次元化など、さまざまな一般化や、Ｇ－ヒルベルトスキームを用いた研究について紹介したい。
In this lecture, we introduce the McKay correspondence, which states that the minimal resolution of a two-dimensional rational double point that arises as a quotient singularity by a finite group G corresponds to the representation of the finite group G. Additionally, we touch upon its generalizations. In particular, we discuss the G-Hilbert scheme, which is an effective tool for studying the three-dimensional McKay correspondence.
1. Overview of Resolution of Singularities and the McKay Correspondence:
Here, we do not delve into detailed definitions but instead provide an overview of the lecture’s content and discuss recent research.
2. Finite Groups and Their Representations, and McKay’s Observation:
We classify the finite subgroups of SL(2,C), discuss the representations and character tables of finite groups, and describe McKay’s Observation that associates a Dynkin diagram to a finite group G.
3. Singularities of Algebraic Varieties and Their Resolution:
We introduce examples of algebraic varieties, define singularities and their resolution, and explore specific examples. We then explain the classical two-dimensional McKay correspondence.
4. Three-Dimensional Singularities and Their Resolution:
Just as in two dimensions, quotient singularities can be formed in three dimensions; however, their structure is more complex. We explain how these three-dimensional singularities can be resolved.
5. Three-Dimensional McKay Correspondence and the G-Hilbert Scheme:
As an extension of the two-dimensional McKay correspondence to three dimensions, we introduce research conducted so far and discuss the G-Hilbert scheme, which provides an alternative approach to constructing the resolution of singularities.
6. Higher-Dimensional Resolutions and Generalizations of the McKay Correspondence:
We introduce various generalizations of the McKay correspondence to higher dimensions and discuss research using the G-Hilbert scheme. |
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履修条件
Course Prerequisites | | 群や多項式環についての基本的な知識があることが望ましい。
This course will be taught in Japanese. |
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関連する科目
Related Courses | | |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | | すべての講義に出席し、レポートにより評価する。詳細は初回の講義で説明するが、すべて出席できない理由がある場合は、申し出ること。 |
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教科書・テキスト
Textbook | | |
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参考書
Reference Book | | | 上野健爾『代数幾何入門』（岩波書店）、松澤淳一『特異点とルート系』（朝倉書店）、石井志保子『特異点入門』（丸善出版）、伊藤由佳理『美しい数学入門』（岩波新書）、伊藤由佳理他（共著）『数学の現在 π×i』（東大出版会、６月頃発刊予定）。 |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | | 課外学習はありませんが、講義中の演習問題を自分で確認するように心がけてください。 |
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注意事項
Notice for Students | | |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions of Other department student's attendance | | | 特にありませんが、群や多項式環は何も説明せずに使いますので、予習しておいてください。 |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | | 代数多様体、特異点、特異点解消、有限群、多項式環、不変式環、群の表現、指標表 |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | 黒板での講義を予定しており、講義ノートの配布の予定はありません。 |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | | 悪天候や公共交通機関が使えないような場合など、万が一の場合は、ZOOMなどオンラインで講義をする。 |
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