授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | | 授業の目的はTamed Dirichlet 空間と呼ばれる準正則強局所的なディリクレ形式でエネルギー密度を許容しBakry-Emery の意味での符号付き測度の曲率下限概念をもつものとして定式化される概念の説明とその上の確率解析に基づいたRiesz 作用素の有界性について紹介することである。Riesz作用素の有界性はユークリッド空間やリーマン多様体の場合にSteinによって調和解析的手法で詳しく研究され, 後にMeyer によって確率解析的手法で別証明が与えられた。本講義は無限次元空間で曲率の下限条件をもつ対称を包括する枠組みでRiesz 作用素の有界性を示していく。 |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | | The aim of the lecture is to explain the concept of a quasi-regular Dirichlet form, which is a Dirichlet form with energy density, and to introduce the boundedness of Riesz operators based on stochastic analysis. The boundedness of Riesz operators was studied in detail by Stein using harmonic analysis in the case of Euclidean spaces and Riemannian manifolds, and later Meyer gave a different proof using stochastic analysis methods. This lecture will show the boundedness of Riesz operators in a framework that encompasses objects with lower curvature conditions in infinite-dimensional spaces. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | この授業では、受講者が授業終了時に以下の知識・能力を身につけていることを目標とする。
1.ディリクレ形式と対応するマルコフ過程の枠組みを理解すること。
2.ディリクレ形式においてBakry-Emery の意味の曲率下限条件をもつTamed Dirichlet space の概念を理解すること。
3.関数に対するLittlewood-Paley-Stein不等式を理解すること。
4.１形式に対するLittlewood-Paley-Stein不等式を理解すること。
5. Riesz作用素の有界性を3.4の組み合わせで導出できること |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | The aim of this class is for students to acquire the following knowledge and skills by the end of the class.
1. To understand the Dirichlet form and the framework of the corresponding Markov process.
2. To understand the concept of a Tamed Dirichlet space with Bakry-Emery's lower curvature bound in the Dirichlet form.
3. To understand the Littlewood-Paley-Stein inequality for functions.
4. To understand the Littlewood-Paley-Stein inequality for one form.
5. To be able to derive the boundedness of the Riesz operator using the combination of 3.4. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 1. Tamed Dirichlet 空間の概念(オーバービュー)
2. Tamed Dirichlet soace に付随する非滑微分幾何学I １階微分構造 余接加群,接加群, 勾配ベクトル, 接加群上のソボレフ空間
3. Tamed Dirichlet soace に付随する非滑微分幾何学II 2階微分構造 へシアン
4. 1-形式とホッジ・小平ラプラシアン, リッチ曲率測度
5. 微分形式に対する熱浴
6. 関数及び1-形式に対するLittlewood-Paley-Stein 不等式, Riesz 作用素の有界性
1. Tamed Dirichlet space (overview)
2. Non-smooth differential geometry associated with Tamed Dirichlet space I: First-order differential structure: cotangent bundle, tangent bundle, gradient vector, Sobolev space on tangent bundle
3. Non-smooth differential geometry associated with Tamed Dirichlet space II: Second-order differential structure: Hessian
4. 1-forms and the Hodge-Kodaira Laplacian, Ricci curvature measures
5. Heat bath for differential forms
6. Littlewood-Paley-Stein inequality for functions and 1-forms, boundedness of Riesz operators |
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履修条件
Course Prerequisites | | リーマン幾何学と測度論的確率論の基礎事項の知識があることが望ましい。
This course will be taught in Japanese. |
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関連する科目
Related Courses | | | 学部で履修するルベーグ積分およびリーマン幾何学について予備知識があることが望ましい。 |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | 講義中に提示するレポート課題で評価する。
具体的には講義中に省力した計算や簡易な証明について補ったものを提出し、その出来具合で評価する。 |
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教科書・テキスト
Textbook | | | 事前のテキストとして個別に指定するものはありませんが参考文献は下記記載のものをから適宜参照を指示します。 |
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参考書
Reference Book | | 1. D. Bakry, I. Gentil and M. Ledoux, Analysis and geometry of Markov diffusion operators,
Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 348, Springer, Cham, 2014.
2. M. Braun, Vector calculus for tamed Dirichlet spaces, Mem. Amer. Math. Soc. 303 (2024), no. 1522.
3. S. Esaki, Z. J. Xu and K. Kuwae, The Littlewood--Paley--Stein inequality for tamed Dirichlet space by
distributional curvature lower bounds, (2023) preprint, arXiv:2307.12514v4
5. S. Esaki, Z. J. Xu and K. Kuwae, Riesz transforms for Dirichlet spaces tamed by distributional curvature lower bounds, (2023) preprint, arXiv:2308.12728v2 |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | ・授業終了時に示すレポート課題についてレポートを作成すること
・参考文献をダウンロードして事前に目を通しておくこと |
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注意事項
Notice for Students | | | 膨大な内容を６回ほどの講義に圧縮するので証明などの細部を適宜省略する。 |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions of Other department student's attendance | | |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | Strongly local Dirichlet space, tamed Dirichlet space, Bakry-'Emery condition, smooth measures of (extended)
Kato class, smooth measures of Dynkin class, Littlewood--Paley--Stein inequality, Riesz transform, Wiener space, path space with Gibbs measure, RCD-space, Riemannian manifold with boundary, configuration space |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | 確率解析と幾何解析が入り混じったレベルが高い内容なので、完全に理解できなくてもかまわないが、話の筋を捉えられる受講してほしい。 |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | |
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