授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | | 定常及び非定常q-差分方程式の基礎理論と最近の進展について学ぶ。超幾何関数、Macdonald関数、Nekrasov分配関数の満たす方程式と、変形Virasoro代数、変形W代数、量子affine/toroidal代数などの表現論との関係を調べる。 |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | | We study stationary and non-stationary q-difference equations, starting from the basic materials and mentioning recent progresses. Hypergeometric functions, Macdonald functions, Nekrasov partition functions are treated based on representation theories of the q-Virasoro, the q-W, and the quantum affine/toroidal algebras. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | | Macdonaldのq差分作用素の固有関数であるMacdonald関数を、組み合わせ的なデータを用いて明示的に書くことを目標とする。その非定常化をどのように扱うかを明らかにし、非定常方程式の解の明示公式を与える。また、非定常方程式の分類、双対変換公式などの基礎理論の構築などを目指す。例として、量子q差分Painleve方程式の波動関数の明示公式を構成する。 |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | | Our aim is to describe explicitly Macdonald functions, i.e. eigenfunctions of the Macdonald q-difference operators, in terms of combinatorial data. Non-stationary versions are introduced, and non-stationary wave functions are also explicitly constructed. We investigate some fundamental theories, including classification of non-stationary equations, duality transformation formulas etc. As an example, we construct an explicit wave function for quantum q-difference Painleve equations. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 集中講義による授業内容の項目。以下の項目を、できるだけ具体的な例に即して説明する。
（１）A型のMacdonald作用素と、漸近的自由Macdonald関数の定義。
（２）核関数関係式による自己再生公式と漸近自由関数の明示公式。
（３）Macdonald系のt->0極限と、量子戸田系の関係。量子群を用いたq-Whittakerモデルの構成と、q-Whittaker関数の解析。2次Casimir、ないし、Drinfeld Casimirを用いたq-差分方程式の導出。
（４）Laumon空間の幾何学とMacdonald関数の関係。affine Laumon空間上のNekrasov分配関数を固有関数とするような非定常系を考察すること。及び、量子affine代数の場合を考察し、非定常方程式を導出すること。
（５）２種のaffine Laumon空間上のNekrasov分配関数。
（６）量子q-差分Painleve方程式への応用。なお、量子群、量子群の普遍R行列、変形Virasoro代数、変形W代数、量子affine/toroidal代数などの表現論との関係についても、時間の許す限り触れたい。
We are treating the following materials, mostly using concrete examples as much as possible:
(1) Definitions of the type A Macdonald q-difference operators and the asymptotically free Macdonald functions.
(2) Kernel function identities, self reproduction formulas, and an explicit construction of the asymptotically free Macdonald functions.
(3) The limit t->0 and the quantum Toda systems. The q-Whittaker model and the quantum group. The second order Casimir, the Drinfeld Casimir and q-difference equations.
(4) The Laumon spaces and the Macdonald functions.
(5) Two classes of Nekrasof partition functions on the affine Laumon spaces.
(6) An application to the quantum q-difference Painleve equations. If we have enough time, we also treat some more materials concerning the quantum groups, the universal R matrices, the q-VVirasoro, q-W, and the quantum affine/toroidal algebras and their representation theories. |
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履修条件
Course Prerequisites | | 特にありません。
This course will be taught in Japanese. |
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関連する科目
Related Courses | | |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | | 出席とレポートによる。簡単なレポート課題（数題）を授業中に指示する。その中から、２題程解答しレポートを作成すること。 |
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教科書・テキスト
Textbook | | |
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参考書
Reference Book | | 授業中に指示する。
その他：(1) Macdonald, I. G. (1995) Symmetric Functions and Hall Polynomials, 2nd edn. Oxford Mathematical Monographs. New York: The Clarendon Press; Oxford University Press.
(2) Gasper, G. & Rahman, M. (2004) Basic Hypergeometric Series, 2nd edn. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 96. Cambridge: Cambridge University Press.
(3) Noumi, M. & Shiraishi, J. A direct approach to the bispectral problem for the Ruijsenaars-Macdonald q-difference operators.arXiv:1206.5364.
(4) Braverman, A., Finkelberg, M. & Shiraishi, J. (2014) Macdonald polynomials, Laumon spaces and perverse coherent sheaves. Perspectives in Representation Theory. Contemporary Mathematics, vol. 610 (P. Etingof,M. Khovanov & A. Savage eds). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 23–41.
(5) Hasegawa, K.,Quantizing the discrete Painlev\'e VI equation: the Lax formalism.,
Lett. Math. Phys 103 (2013), 865-879,arXiv:1210.0915 [math.QA]. |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | | 可能ならば、課外学習として、数式処理プログラムを用いて、（多変数）q-超幾何関数に関する計算を確認してほしい。 |
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注意事項
Notice for Students | | |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions of Other department student's attendance | | |
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レベル
Level | | |
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キーワード
Keyword | | | 対称多項式、超幾何関数、Macdonald多項式、Nekrasov分配関数、Laumon空間、量子群、Painleve方程式 |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | 特殊関数と表現論の立場から、色々な差分方程式が現れます。表現論は、幾何学的な視点で見えてきます。深いところで色々なことは繋がっているはずです。 |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | |
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