授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | 整数分割とq級数は、組合せ論における基本的な対象であり、整数論と深く驚くべき繋がりを持っています。一方で、モジュラー形式やその一般化である準モジュラー形式は、厳密な対称性を満たす上半平面上の関数です。これらの関数は数学や物理学の多くの分野で自然に現れ、その空間は有限次元であり、アルゴリズムによって計算可能です。本講義の目的は、組合せ論的モジュラー形式の理論への入門を提供することです。特に、qブラケットのような道具を用いて、分割上の関数と準モジュラー形式の間の橋渡しをします。また、sl_2代数、ランキン・コーエン・ブラケット、ヘッケ作用素など、これらの空間を支配する代数的および微分的構造を探求します。さらに、周期多項式や形式的二重ゼータ空間の研究を通じて、これらの対象の根底にある深い代数的関係を調べ、現代の数学における非常に活発な研究分野を紹介します。
講義に関するすべての情報は、定期的に更新される講義ホームページに掲載されます：
https://www.henrikbachmann.com/qser_2026.html |
|
|
授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | Integer partitions and q-series are fundamental objects in combinatorics that possess deep and surprising connections to number theory. On the other hand, modular forms and their generalizations, such as quasimodular forms, are functions on the upper half-plane satisfying strict symmetry properties. These functions appear naturally in many branches of mathematics and physics, and their spaces are finite-dimensional and algorithmically computable.The goal of this lecture is to provide an introduction to the theory of combinatorial modular forms, using tools like the $q$-bracket to bridge the gap between functions on partitions and quasimodular forms. We will explore the underlying algebraic and differential structures governing these spaces, including sl2-algebras, Rankin-Cohen brackets, and Hecke operators. Furthermore, we will investigate the deep algebraic relations underlying these objects through the study of period polynomials and the formal double zeta space, highlighting highly active areas of modern mathematical research.
All course information will be available on the regularly updated course homepage:
https://www.henrikbachmann.com/qser_2026.html |
|
|
到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | | 本講義の目標は、現在の研究に密接に関連するテーマである、q級数、整数分割、および準モジュラー形式の理論への入門を提供することです。講義を通じて、ホップ代数や準シャッフル代数などの様々な代数的構造を導入し、群作用について考察します。さらに、この分野における未解決問題も取り上げ、修士論文や博士論文の研究テーマの候補として紹介します。 |
|
|
到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | | The objective of this course is to provide an introduction to the theory of q-series, partitions, and quasimodular forms, a topic closely related to current research. Along the way, we will introduce various algebraic structures, such as Hopf algebras and quasi-shuffle algebras, and examine group actions. Additionally, we will highlight open problems in the field, which may serve as potential topics for master's or PhD research projects. |
|
|
授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 詳細は講義ホームページをご参照ください。
We will begin with an introduction to the theory of partitions and $q$-series. Following this, we will explore the q-bracket and its role in connecting combinatorial objects, such as functions on partitions, to the realm of modular forms. In the second part of the course, we will examine quasimodular forms, their underlying algebraic structures, and the action of various operators. Finally, we will connect these concepts to double zeta values and period polynomials. For more details, please refer to the course homepage.
Key Topics:
- Partitions
- q-series, and their generating functions
- The q-bracket
- Quasimodular forms and sl_2-algebras
- Rankin-Cohen brackets and Hecke operators
- Period polynomials of modular forms
- Combinatorial modular forms |
|
|
履修条件
Course Prerequisites | | 受講者は、学部レベルの線形代数および解析学の基礎知識を持っていることが望まれます。また、一部の内容では複素解析の知識が役立ちますが、必須ではありません。
Students are expected to have completed standard undergraduate courses in linear algebra and calculus. While some familiarity with complex analysis may be helpful at certain points, it is not a mandatory prerequisite. |
|
|
関連する科目
Related Courses | | 学期中に、私のセミナーで多重ゼータ値に関する研究講演が行われることがあります。本講義の受講者も参加可能です。講演がある場合は、講義中にお知らせします。
During the semester, there may be research talks in my seminar on modular forms, and q-analogues of multiple zeta values. Students in this course are welcome to attend. I will announce these seminars during the lectures. |
|
|
「履修取り下げ届」提出の要・不要
Necessity / Unnecessity to submit "Course Withdrawal Request Form" | | 本講義の履修を取り下げたい場合は、学期中に私までご連絡ください。
If you want to withdraw from the course, please contact me during the semester. |
|
|
履修取り下げの条件等
Conditions for Course Withdrawal | | |
|
成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | 成績は宿題の提出に基づいて評価されます。
※ 宿題は日本語で提出することも可能です。
The grading will be based on homework assignments. |
|
|
不可(F)と欠席(W)の基準
Criteria for "Fail (F)" & "Absent (W)" grades | | 宿題で十分な点数を得られない場合や、授業を頻繁に欠席する場合は、単位取得が難しくなる可能性があります。
Not gaining enough points on the homework or being absent from class too often. |
|
|
参考書
Reference Book | | 講義ホームページに、定期的に更新される参考文献リストを掲載します。
There will be a regularly updated list of references available on the course homepage. |
|
|
教科書・テキスト
Textbook | | 本講義では特定の教科書は使用せず、いくつかの研究論文をもとに進めます。講義中に講義ノートを作成・提供し、また講義の初めに参考文献を紹介します。
We will not use a textbook; instead, the course will be structured based on several research papers. Lecture notes will be created and provided during the course, along with various references at the beginning of the lecture series. |
|
|
課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | 受講者は、宿題を解く際に講義内容を振り返り、講義ノートを参照することが求められます。
Students are expected to review the lectures and refer to the lecture notes while solving the homework assignments. |
|
|
注意事項
Notice for Students | | 本講義に関するすべての情報は、講義ホームページで確認できます：
All information on this course will be available on the course homepage: https://www.henrikbachmann.com/qser_2026.html |
|
|
他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
|
他学科聴講の条件
Conditions for Other department student's attendance | | |
|
レベル
Level | | |
|
キーワード
Keyword | | | Partitions, q-series, q-bracket, quasimodular forms, period polynomials, formal double zeta space, sl2-algebras, Rankin-Cohen brackets, Hecke operators |
|
|
履修の際のアドバイス
Advice | | |
|
授業開講形態等
Lecture format, etc. | | | Face-to-Face in the classroom |
|
|
遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | |
|