授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | | 集合論・圏論・トポロジー・ホモロジー代数・微分幾何など現代的数学の考え方と使い方を修得する。 |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | | Acquire an understanding of the ideas and methods of modern mathematics, including set theory, category theory, topology, homological algebra, and differential geometry. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN) | | | 集合論・圏論・トポロジー・ホモロジー代数・微分幾何の基本概念と基本定理を理解する。 |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | | Understand the fundamental concepts and basic theorems of set theory, category theory, topology, homological algebra, and differential geometry. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 圏論は関係の数学と言ってもよい数学分野である。大小関係・前後関係・演算関係・遠近関係・親子関係・主従関係などの関係で結ばれた組織やネットワークは圏をなす。対象間の関係だけでなく，関係と関係の間の関係のような高次の関係も記述できるのが圏論の特徴である。たとえば「日本の東京」と「フランスのパリ」，「中華鍋とチャーハン」と「土鍋とうどん」のような関係が高次関係の例である。こういった高次の関係性を数学的に明確に記述する言葉が，圏論の射・関手・自然変換である。圏論は，もともと数学のトロポジーやホモロジー代数と呼ばれる分野に起源を持つが，今では，論理，物理，コンピュータ科学，AIなどの分野でも使われている。
授業内容としては以下のような項目を想定しているが、必ずしもこの順番どおりに教えるとは限らないし、すべての項目を教えるとは限らない。講義は日本語で行う。
1. 集合論
2. 圏論
3. 集合の圏
4. ベクトル空間の圏
5. 位相空間の圏，ホモトピー関手とホモロジー関手
6. 群の表現論と双対性
7. 微分幾何学，ファイバー束
8. 応用（圏論的量子力学・トポスなど） | Category theory may be described as a branch of mathematics concerned with relations. Organizations and networks structured by relations--such as order relations (greater-less), temporal relations (before-after), operational relations, spatial relations (near-far), parent–child relations, and hierarchical relations (superior-subordinate)--can be regarded as forming categories. A distinctive feature of category theory is that it can describe not only relations between objects but also higher-order relations, that is, relations between relations. Examples of such higher-order relations include pairs such as “Tokyo in Japan” and “Paris in France,” or “a wok and fried rice” and “an earthenware pot and udon.” The mathematical language used to describe these higher-order relational structures precisely consists of morphisms, functors, and natural transformations in category theory.
Category theory originally arose in areas of mathematics known as topology and homological algebra, but it is now widely used in fields such as logic, physics, computer science, and artificial intelligence.
The course is expected to cover topics such as those listed below; however, they may not necessarily be taught in this order, and not all topics may be covered. The lectures will be conducted in Japanese.
1. Set Theory
2. Category Theory
3. The Category of Sets
4. The Category of Vector Spaces
5. The Category of Topological Spaces; Homotopy Functors and Homology Functors
6. Representation Theory of Groups and Duality
7. Differential Geometry, Fiber Bundles
8. Applications (Categorical Quantum Mechanics, Topos Theory, etc.) |
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履修条件・関連する科目
Course Prerequisites and Related Courses | | | 集合論や論理の基本を知っていることが望ましい。 | | It is desirable that students have a basic knowledge of set theory and logic. |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | | 課題レポートによって講義の理解度を評価し，100点満点で採点し，合計60点以上を合格とする。レポートを一度も提出しなければ成績はW（取り下げ）とする。 | | Students' understanding of the lectures will be evaluated based on assignment reports. Grades will be given on a 100-point scale, and a total score of 60 points or higher w00ill be considered a passing grade. If no report is submitted, the grade will be recorded as W (Withdrawal). |
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教科書・参考書
Textbook/Reference book | | 教科書・参考書
・谷村省吾「物理学者のための圏論入門」（PDFファイルノート）
https://nagoya.repo.nii.ac.jp/record/30360/files/tanimura-category.pdf
・谷村省吾「トポロジー・圏論・微分幾何―双対性の視点から」（電子版，サイエンス社）
https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-9901-2&y=2013
・谷村省吾「幾何学から物理学へ―物理を圏論・微分幾何の言葉で語ろう」（電子版，サイエンス社）
https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-9980-7&y=2020
・谷村省吾「科学の書き言葉としての圏論」現代思想 2020年7月号（青土社）pp. 136-149.
http://www.seidosha.co.jp/book/index.php?id=3438
・谷村省吾「たいていの物理量は圏論的射である：古典物理と量子物理の圏論」数学セミナー2022年3月号（日本評論社）pp. 16-23.
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/8721.html
・谷村省吾「共通言語としての圏論」数理科学2024年11月号（サイエンス社）pp. 7-14.
https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=4910054691146&y=2024
・レンスター「ベーシック圏論」（丸善出版）
https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b295027.html
T. Leinster, "Basic Category Theory", Cambridge University Press
https://www.cambridge.org/core/books/basic-category-theory/A72533879BBC7BD956CC415777B7DA99
・E. Riehl, "Category Theory in Context", Dover
https://store.doverpublications.com/products/9780486809038 | |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | | レポート課題を数回出題する。レポートはTACTで提出すること。 | | Several report assignments will be given. Reports must be submitted via TACT. |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | 今年度は遠隔授業を行う予定はないが、過去の講義ビデオをアーカイブしてあるので適宜視聴してよい。
ただし、講義ビデオの内容は今年度実施する講義の内容とだいぶ異なっている：
https://nuss.nagoya-u.ac.jp/s/YSyHpeCRXZda4sR |
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