学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate

多・博前

時間割コード
Registration Code

3211109

科目区分
Course Category

Ａ類Ⅲ（集中講義）
Category A-3

科目名　【日本語】
Course Title

代数幾何学特別講義Ⅰ

科目名　【英語】
Course Title

Special Course on Algebraic Geometry Ⅰ

コースナンバリングコード
Course Numbering Code

担当教員　【日本語】
Instructor

尾髙悠志 ○

担当教員　【英語】
Instructor

ODAKA Yuji ○

単位数
Credits

開講期・開講時間帯
Term / Day / Period

春集中その他その他
Intensive(Spring) Other Other

授業形態
Course style

学科・専攻
Department / Program

多元数理科学研究科

必修・選択
Required / Selected

選択

授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)

代数幾何学、微分幾何学、超ケーラー幾何学、数論幾何学にまたがる最近の相互関連のトピックをいくらか紹介する。（キーワード：超ケーラー多様体、シンプレクティック特異点、接触多様体、Donaldson-Sun理論、数論的K安定性）

授業の目的　【英語】
Goals of the Course

Introduce some recent interrelated topics across algebraic geometry, differential geometry, hyperKahler geometry, and arithmetic geometry.

到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))

代数幾何学、微分幾何学、超ケーラー幾何学、数論幾何学にまたがる最近の相互関連のトピックをいくらか習得する。

到達目標　【英語】
Objectives of the Course

Acquire some knowledge of recent interrelated topics across algebraic geometry, differential geometry, hyper-Kähler geometry, and arithmetic geometry.

授業の内容や構成
Course Content / Plan

ここ15年ほどK安定性や標準Kahler計量の代数幾何学への応用が大きく発展した。その一部をご紹介するが、特にシンプレクティック特異点や数論的K安定性理論を二つ念頭に考えている。　
（１）超ケーラー多様体の基礎、シンプレクティック特異点、接触多様体、
（２）特異点の局所構造についてのDonaldson-Sun理論、佐々木(-Einstein)多様体、体積最小化（Martelli-Sparks-Yau理論）と付値論的説明
（３）数論的K安定性　cf., “Canonical Kähler metrics and arithmetics: Generalizing Faltings heights” (Kyoto J Math 2018)
という風に分けてやることを検討するため、一部だけ聞いていただくことも可能かもしれない。
（１）（２）においては、並河尾高 (https://arxiv.org/abs/2503.15791) によるKaledin予想(-2003)の解決とその新しい方向への改良「シンプレクティック特異点は標準的C^*作用を持ち、さらにそれがKahler-Einstein幾何学・K安定で特徴づけられる」ことを解説する。
（３）ではFaltings高さを一般の数論多様体に拡張し、K安定性理論と標準Kahler計量の理論を統一した理論展開をする。
なお、以上は暫定の予定であり、実際の授業の間に受講者の状況等に応じて変更する可能性があることをご了承いただきたい。

In recent 15 years, the applications of K-stability and canonical Kähler metrics to algebraic geometry have seen significant development. I will introduce some of these advancements, focusing specifically on two main areas: symplectic singularities and arithmetic K-stability theory.

To facilitate a structured discussion, I am considering dividing the material into the following sections (it may be possible to attend only specific parts of interest):

(1) Foundations of hyper-Kähler manifolds, symplectic singularities, and contact manifolds.
(2) Donaldson-Sun theory regarding the local structure of singularities, Sasaki(-Einstein) manifolds, volume minimization (Martelli-Sparks-Yau theory), and valuation-theoretic explanations.
(3)Arithmetic K-stability; cf., O “Canonical Kähler metrics and arithmetics: Generalizing Faltings heights” (Kyoto J. Math. 2018).
In sections (1) and (2), I will explain the resolution of the Kaledin conjecture (--2003) by Namikawa-Odaka (arXiv:2503.15791), along with its refinement in an unexpected direction: the fact that symplectic singularities possess a canonical C∗-action which is characterized by Kähler-Einstein geometry and K-stability.

In section (3), I will discuss a unified theoretical framework that generalizes Faltings heights to general arithmetic varieties, integrating K-stability theory with the theory of canonical Kähler metrics.

Note: Please be aware that the plan above is provisional and may be adjusted during the actual lectures based on the background and progress of the participants.

履修条件
Course Prerequisites

学部３回生までに教わる基本的な内容。
This course will be taught in Japanese.