学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate

多・博前

時間割コード
Registration Code

3211120

科目区分
Course Category

Ａ類Ⅲ（集中講義）
Category A-3

科目名　【日本語】
Course Title

解析学特別講義Ⅱ

科目名　【英語】
Course Title

Special Course on Analysis II

コースナンバリングコード
Course Numbering Code

担当教員　【日本語】
Instructor

平良晃一 ○

担当教員　【英語】
Instructor

TAIRA Kouich ○

単位数
Credits

開講期・開講時間帯
Term / Day / Period

秋集中その他その他
Intensive(Fall) Other Other

授業形態
Course style

学科・専攻
Department / Program

多元数理科学研究科

必修・選択
Required / Selected

選択

授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)

本授業では，Lorentz幾何学に現れる微分方程式に関する近年の研究の進展を理解するのに必要な，基礎的な知識の習得を目的とする．そのために，この授業では超局所解析の基礎とRiemann多様体・Lorentz多様体上の微分方程式への応用について学ぶ．

授業の目的　【英語】
Goals of the Course

The aim of this course is to provide students with the fundamental knowledge necessary to understand recent developments in the study of differential equations arising in Lorentzian geometry. To this end, students will learn the fundamentals of microlocal analysis and their applications to differential equations on Riemannian and Lorentzian manifolds.

到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))

この授業では，受講者が授業終了時に，以下の知識・能力を身につけていることを目標とする．

1．超局所解析に関する基本的な考え方について理解し，説明できる．

2．擬微分作用素の演算について理解し，説明できる．

3．Riemann多様体，Lorentz多様体上のLaplacianの定義とその具体例，簡単な場合のスペクトルの性質について理解し，説明できる.

到達目標　【英語】
Objectives of the Course

The aim of this course is for students to acquire the following knowledge and skills by the end of the course:

1. Understand the basic concepts and ideas of microlocal analysis and be able to explain them.
2. Understand the calculus of pseudodifferential operators and be able to explain it.
3. Understand and be able to explain the definitions of the Laplacian on Riemannian and Lorentzian manifolds, concrete examples of such operators, and basic properties of their spectra in simple cases.

授業の内容や構成
Course Content / Plan

偏微分方程式論において，解の正則性（＝解の滑らかさ）を調べることは重要であり，解の存在問題や微分作用素のFredholm性への応用がある．Riemann多様体上のLaplace–Beltrami作用素やDirac作用素のFredholm性は，指数定理やHodge理論などの幾何学に応用されており，そのFredholm性の証明には解の正則性理論が用いられている．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一方，Lorentz多様体上のLaplacianは双曲型作用素であり，Riemann多様体上の場合とは異なり，楕円型作用素の場合のような局所的正則性は一般には期待できない．近年の研究の進展により，超局所解析を用いることで，特定の状況ではLorentz多様体上のLaplacianについて大域的な正則性が得られることが分かっており，Lorentz多様体のスペクトル理論，指数定理，ブラックホールの安定性問題などに応用されている．

この講義では，超局所解析の基礎と，特異性伝播定理と呼ばれる波の正則性の伝播に関する定理を解説し，時間があればスペクトル理論への応用についても述べる．Sobolev空間論，関数解析，Riemann幾何学の基礎事項についても，必要に応じて解説する．以下の事柄について講義する予定である：

1. 基礎事項：ソボレフ空間，関数解析，波動方程式，微分方程式の正則性

2. 擬微分作用素の代数とその演算　

3.コンパクトRiemann多様体のLaplacianのスペクトルについて

4. Lorentz多様体上の波動方程式の特異性伝播定理

5. 時間があれば：Lorentz多様体上のLaplacianのスペクトルについて

英語：In the theory of partial differential equations, it is important to study the regularity (i.e., smoothness) of solutions. Regularity theory has applications to existence problems for solutions and to the Fredholm properties of differential operators. The Fredholm properties of the Laplace–Beltrami and Dirac operators on Riemannian manifolds play an important role in geometry, for example in index theory and Hodge theory, and regularity theory is used in establishing these Fredholm properties.

On the other hand, the Laplacian on a Lorentzian manifold is a hyperbolic operator, and unlike the case of Riemannian manifolds, one cannot in general expect the type of local regularity enjoyed by elliptic operators. Recent developments have shown that, using microlocal analysis, one can obtain global regularity results for the Laplacian on Lorentzian manifolds under certain conditions. Such results have applications to the spectral theory of Lorentzian manifolds, index theory, and stability problems for black holes.

In this course, we will introduce the foundations of microlocal analysis and explain the propagation of singularities theorem, which describes how the regularity of waves propagates. If time permits, we will also discuss applications to spectral theory. Basic topics from Sobolev space theory, functional analysis, and Riemannian geometry will be reviewed as needed.

The course is planned to cover the following topics:
1.Preliminaries: Sobolev spaces, functional analysis, the wave equation, and regularity of solutions to differential equations
2.Pseudodifferential operators: algebra and symbolic calculus
3.The spectrum of the Laplacian on compact Riemannian manifolds
4. The propagation of singularities theorem for the wave equation on Lorentzian manifolds
5. If time permits: the spectrum of the Laplacian on Lorentzian manifolds

履修条件
Course Prerequisites

学部レベルの解析，幾何についての知識を必要とする．
This course will be taught in Japanese.