授業の目的 【日本語】
Goals of the Course(JPN) | | | 流体の運動を表す偏微分方程式に対する数理的課題とその解決手法を学び, 論理的な思考力と幅広い視野を身につけることを目的とする.また講義中に提示する課題を通じて, 身につけた知識を応用・展開する方法を学ぶ. |
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授業の目的 【英語】
Goals of the Course | | | The aim of this course is to study the mathematical challenges associated with partial differential equations describing fluid motion, together with methods for addressing them, and to develop logical thinking skills and a broad perspective. Through problem sets presented during the lectures, students will also learn how to apply and further develop the knowledge they have acquired. |
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到達目標 【日本語】
Objectives of the Course(JPN)) | | この授業では，受講者が授業終了時に以下の知識・能力を身につけていることを目標とする.
1. オイラー方程式の解の性質，数学的課題，研究動向を説明できる.
2. 変分法について理解し，説明できる.
3. 偏微分方程式の適切性について理解し，説明できる.
4. 確立偏微分方程式について理解し，説明できる. |
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到達目標 【英語】
Objectives of the Course | | In this course, the objective is for students to have acquired the following knowledge and abilities by the end of the course:
1. The ability to explain the properties of solutions to the Euler equations, the associated mathematical challenges, and current research trends.
2. An understanding of the calculus of variations, and the ability to explain its fundamental concepts.
3. An understanding of the well-posedness of partial differential equations, and the ability to explain its significance.
4. An understanding of stochastic partial differential equations, and the ability to explain their basic theory. |
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授業の内容や構成
Course Content / Plan | | 概説
1. イントロダクション：流体偏微分方程式の剛性と柔軟性
2. 斉次解の非存在:球面上の方程式
3. 斉次解の存在: グラド-シャフラノフ方程式
4. 斉次解の存在2: ミニマックス原理
5. ランダム平衡解の存在:磁気緩和方程式
6. ランダム平衡解の存在2:クークシン測度
毎回の授業で前回までの講義内容の理解度の確認を行います.
Overview
1. Introduction: Homogeneous solutions and random solutions of the Euler equations
2. Non-existence of homogeneous solutions: Equations on the sphere
3. Existence of homogeneous solutions: The Grad–Shafranov equation
4. Existence of homogeneous solutions II: A minimax principle
5. Existence of random stationary solutions: Magnetic relaxation equations
6. Existence of random stationary solutions II: Kuksin measures
At each lecture, students’ understanding of the material covered so far will be assessed. |
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履修条件
Course Prerequisites | | 履修条件は要さないが, 偏微分方程式, 関数解析, 確率論についての基礎知識を前提とする.
This course will be taught in Japanese. |
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関連する科目
Related Courses | | | 偏微分方程式, 関数解析, 確率論について履修していることが望ましい. |
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成績評価の方法と基準
Course Evaluation Method and Criteria | | 以下の項目について4回のレポート課題で評価する.
レポート1 : オイラー方程式
レポート2 : グラド-シャフラノフ方程式
レポート3 : ミニマックス原理
レポート4 : 磁気緩和方程式
詳しいレポート課題を授業中に指示する.各レポートは, 偏微分方程式の研究動向と技術的課題を正しく理解して論じていることを最低限の合格基準とする. レポートは合計100 点満点で 60 点以上を合格とする. |
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教科書・テキスト
Textbook | | | 教科書・テキストは使用しない. 必要に応じて資料を講義中に配布する. |
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参考書
Reference Book | | (1) Bedrossian, J., Vicol, V.: The mathematical analysis of the incompressible Euler and Navier-
Stokes equations—an introduction. 225(xiii+218) (2022) ©2022
(2) Kuksin, S., Shirikyan, A.: Mathematics of Two-Dimensional turbulence, Volume 194 of Cam-
bridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge (2012) |
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課外学習等（授業時間外学習の指示）
Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours) | | ・講義中に指示した資料や参考書を事前に読んでおくこと.
・授業終了時に示す課題についてレポートを作成すること.
・毎回授業の最初に前回授業内容に係る確認を行うので, 復習をしておくこと.
・次回の授業範囲を予習し, 専門用語の意味等を理解しておくこと. |
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注意事項
Notice for Students | | |
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他学科聴講の可否
Propriety of Other department student's attendance | | |
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他学科聴講の条件
Conditions of Other department student's attendance | | | 偏微分方程式についての基礎事項を履修していることが望ましい. |
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レベル
Level | | 2
※大学院修士課程程度の解析学の基礎知識を前提とする. |
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キーワード
Keyword | | | 流体力学, オイラー方程式, ミニマックス原理, 磁気緩和方程式, 確立偏微分方程式, 不変測度 |
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履修の際のアドバイス
Advice | | | 質問や討論により, 授業に積極的・能動的に参画することを推奨する. |
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授業開講形態等
Lecture format, etc. | | |
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遠隔授業（オンデマンド型）で行う場合の追加措置
Additional measures for remote class (on-demand class) | | |
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