学部・大学院区分
Undergraduate / Graduate

多・博前

時間割コード
Registration Code

3211133

科目区分
Course Category

Ａ類Ⅲ（集中講義）
Category A-3

科目名　【日本語】
Course Title

数理物理学特別講義Ⅰ

科目名　【英語】
Course Title

Special Course on Mathematical Physics Ⅰ

コースナンバリングコード
Course Numbering Code

担当教員　【日本語】
Instructor

未定（多元） ○

担当教員　【英語】
Instructor

○

単位数
Credits

開講期・開講時間帯
Term / Day / Period

秋集中その他その他
Intensive(Fall) Other Other

授業形態
Course style

学科・専攻
Department / Program

多元数理科学研究科

必修・選択
Required / Selected

選択

授業の目的　【日本語】
Goals of the Course(JPN)

現在、私たちは場の量子論という枠組みを用いて自然界を記述している。しかし、場の量子論の経路積分による定式化は数学的に厳密に扱うことが難しく、また、一般相対性理論に基づく重力は場の量子論の枠組みでは記述できていない。量子重力理論の構築に重要な役割を果たすと考えられている弦理論の非摂動的な定式化を目指す試みと、場の量子論の数学的に厳密な定式化を目指す試みは、ホモトピー代数を用いた量子論の再構築を通して普遍的に融合される。この授業では、ホモトピー代数を用いた量子論の再構築の基礎を学ぶことを目的とする。

授業の目的　【英語】
Goals of the Course

Today we describe nature in the framework of quantum field theory. However, it is difficult to formulate quantum field theory using the path integral in a mathematically rigorous fashion, and gravity based on General Relativity has not been described in the framework of quantum field theory. String theory is considered to play an important role in the construction of quantum gravity, but it is defined only in perturbation theory. Our attempt towards nonperturbative formulations of string theory and our attempt towards mathematically rigorous formulations of quantum field theory can be unified by reformulating quantum theory via homotopy algebras in a universal way. The purpose of this course is to explain the basics of the reformulation of quantum theory via homotopy algebras.

到達目標　【日本語】
Objectives of the Course(JPN))

この授業では、受講者が授業終了時に、以下の知識・能力を身につけていることを目標とする。
１．場の量子論の運動方程式やゲージ対称性をコチェイン複体の言葉を使って説明できる。
２．場の量子論の相関関数を A_infinity 代数を用いて計算することができる。
３．興味があれば共形場の理論の知識と組み合わせて弦の場の理論の最先端の論文を読むことができる。

到達目標　【英語】
Objectives of the Course

The goal of this course is to provide the student with the following knowledge and abilities.
1. The student can describe the equations of motion and the gauge symmetries of quantum field theory in the language of cochain complexes.
2. The student can calculate correlation functions of quantum field theory using A_infinity algebras.
3. The student can read the latest papers on string field theory by combining the knowledge of conformal field theory when she or he is interested.

授業の内容や構成
Course Content / Plan

１．ホモトピー代数を用いた場の量子論の再構築の概説
弦の場の理論のような複雑なゲージ対称性を持つ理論の構成・解析や経路積分を用いない場の量子論の定式化におけるホモトピー代数の普遍的な役割を概説する。
２．A_infinity 代数を用いた運動方程式・ゲージ対称性・観測量の記述
場の古典論や場の量子論での運動方程式・ゲージ対称性・観測量を A_infinity 代数を用いて表す方法を学び、BRST 量子化や Batalin-Vilkovisky 形式との関連を理解する。
３．テンソル余代数を用いた A_infinity 代数の表現
A_infinity 代数を扱う上で本質的な役割を果たすテンソル余代数を用いた表現方法を習得し、coderivation などを導入する。
４．A_infinity 代数を用いた相関関数の公式
場の量子論の主要な観測量である相関関数の摂動論での表式を A_infinity 代数を用いて表す公式を学ぶ。
５．A_infinity 代数を用いた場の量子論の記述の応用
非摂動的な相関関数、散乱振幅、1/N 展開などへの A_infinity 代数を用いた場の量子論の記述の応用を学ぶ。

４日間の授業のそれぞれの日にレポート課題を出し、その日の授業の内容の理解の確認をする。

1. An overview of reformulating quantum field theory via homotopy algebras
We provide an overview of the universal role of homotopy algebras in the construction and analysis of theories with complicated gauge symmetries such as string field theory and in the formulation of quantum field theory without using the path integral.
2. The description of the equations of motion, the gauge symmetries, and the observables using A_infinity algebras
We explain the description of the equations of motion, the gauge symmetries, and the observables using A_infinity algebras both in classical field theory and in quantum field theory, and its relation to the BRST quantization and the Batalin-Vilkovisky formalism.
3. The coalgebra representation of A_infinity algebras
We can represent A_infinity algebras using the tensor coalgebra, which plays a crucial role. We explain this coalgebra representation of A_infinity algebras and introduce important ingredients such as coderivations.
4. The formula for correlation functions based on A_infinity algebras
Correlation functions are important observables in quantum field theory. We explain the formula for the correlation functions in perturbation theory based on A_infinity algebras.
5. Applications of the description of quantum field theory in terms of A_infinity algebras
We explain the description of quantum field theory applied to nonperturbative correlation functions, scattering amplitudes, the 1/N expansion, and so on.

履修条件
Course Prerequisites

履修要件は要さないが、物理学における力学、電磁気学、解析力学、量子力学、場の量子論の基礎的な内容を理解していることが望ましい。
The course will be conducted in English. この講義は英語で行います。